application du théorème de Newton à la construction des
tangentes.
Le théorème de Newton donne un moyen simple de construire géométriquement la tangente à une courbe lorsque cette courbe est entièrement tracée.
Cette observation est due à M. Chasles (**).
Soit m le point où Ton veut mener la tangente.
Prenons un point P quelconque et un autre point tu voisin de*m, mais non situé sur la courbe. Par chacun de ces points menons deux transversales parallèles à deux axes fixes. Nous aurons, par le théorème de Newton,
PA,XPA,X...XPA„ cya.Xroa, X. .Xcra/,
PB, XPB,X...XPB;, Tïy(3,XTnl3,X...Xcj(3^
La droite «i, Pi, infiniment petite, est l'élément de la courbe au point m, et devient à la limite, c'est-à-dire quand ts vient en /w, la tangente en ce point. La formule ci-dessus donne alors
Tsai __ ^ PA> X PAaX . . . X PA;, m(3aX. .X m^p *"^ ct(3,~'-^"" PB. X PB,X. . .X PB^ ^ wa.X. . .X ma^"
Si donc on porte, à partir du point m, et sur les deux trans-
{*) De ratione contentorum sub paraUelonun segmentis, (**) Aperçu historique, note, p. ii\.
THÉORIE DEâ TRANSVERSALES. lOI
versales issues de ce point, des longueurs ayant entre elles le rapport /, la droite qui joindra leurs extrémités sera parallèle à la tangente cherchée.
5. Application du théorème de Carnot à la construction du cercle osculateur.
Le théorème de Carnot donne un moyen général de construire le cercle osculateur à une courbe (*).
Soit m le point considéré.
Prenons le sommet A du triangle dans le voisitiage extrême du point m; dirigeons le côté AB parallèlement à la tangente en m; prenons AC et BC quelconques.
Les trois points c, , d , 6, , seront infîniment voisins de m, et le cercle passant par ces. trois points deviendra à la limite, c'est-àdire lorsque A viendra en m, le cercle osculateur cherché.
Le côté AC, qui rencontre en 6, le cercle (6iC,c,), coupe ce cercle en un nouveau point p.
Il s'agit de déterminer la valeur limite de A p.
On a, par une propriété connue du cercle, . Ac, xAc,
et le théorème de Carnot donne
Ap =
A62X.. .X kbp Ac^X. . .^ kCp Bc.xBcX.. XBc> Ba.xBtfaX.. XB«^ Ca,xCfl,X...X Cap ^C6,XC6,X^.XC6^'
Passant à la limite, on trouve lim Ap =
mb^yc . .X mbp
mc^-X. . ,XmCp Bm^XBcsX.. XBg^
^ Ba, xBfl,X...XBa;, CmXCfl3X...xCap
^Cft,X XC6;,'
(*) j4 perçu /lisKtrifjuc
