Théorème relatif aux intersections de deux courbes

Lorsqu'un groupe de p^ points résulte des intersections de deux courbes du degré p, et, par conséquent, est pivotable par une courbe du degré p, les points de ce groupe ne sont pas tous arbitraires.

Toute courbe du degré p qui passe par ^ de ces

, p*— 3p-h2 points passe nécessairement par les ^ autres.

On en déduit que :

Théorème LXXUI. — Si pq points d^ intersection de deux courbes du degré p sont une courbe du degré q, les p{p — q) autres points appartiennent à une courbe du degré {pq)»

En effet, sur ces p{p — q) points, prei!ons-en i2lliii2zi2 \

par lesquels nous ferons passer une courbe du degré {p — q); cette courbe et la courbe du degré q forment ensemble une

courbe du degré p, laquelle passe par £ ^ ^-^

des pivots donnés. Ce dernier nombre est au moins égal à

^ — j donc la courbe composée dont il s'agit passe

par tous les pivots.

Or la courbe du degré q ne peut pas contenir plus de pq pivots, sans quoi elle couperait chacune des deux courbes données en plus de pq points ; donc les p{p — q) pivots restants sont à une courbe du degré {p — q).