Propriétés des transversales

Coupons une courbe du degré p par une transversale A, et par chaque point d'intersection menons une sécante arbitraire.

Ces sécantes, au nombre de />, forment une courbe du degré p, qui coupe en p^ points la courbe donnée. Comme p de ces points sont à la droite A, les p(p — i) autres sont à une courbe du degré (p — i). Donc :

Théorème LXXIV. — Si y par chaque point d'intersection

d'une courbe du degré p et d'une dMte A, on mène une

transversale arbitraire, les p{p — i) points d'intersection {non

^ situés sur A ) des transversales et de la courbe sont à une ligne

du degré {p — i ) ( * ).

Considérons maintenant deux transversales quelconques A et B qui couperont la courbe en des points Ui, a,,..., Up >et bi, b^,. ,,,bp. Formons avec ces deux séries de points p

(*) Ce théorème est dû à M. Poncelet. P'oir Mémoire sur la théorie des transversales {Journal de Crelle^ année i832, p. lag).

couples (a,, fci), («a, 65),. . ., [Up^ bp), dont les éléments sont pris sur chaque droite, sans double emploi d'aucun d'entre eux.

Les cordes ou sécantes «16,, «,6,,..., apbp^ forment une courbe du degré p, qui rencontre en p' points la courbe donnée, ip de ces points étant situés Sur la conique formée par nos deux transversales, \es p(p — 2) autres points sont à une ligne du degré {p — 2).

Par conséquent :

Théorème LXXV. — Si par les points d'intersection de deux transite rsales et d'une courbe du degré p on fait passer un système de p droites telles, que chacune d*elles joigne deux points pris respectivement sur chacune des sécantes et que deux d'entre elles ne se coupent pas sur une des transver^ sales, les p{p — 1) points d'intersection de ces droites et de la courbe seront à une ligne du degré (p — 2 ).

Si Ton suppose que les points 6i, 62,..., 6^ tendent respectivement vers «1, tfj,. ..,«;,, ce qui a lieu lorsque B tend vers A, on arrive à ce nouveau théorème, dû à M. Poncelet :

Théorème LXXVI. — Le système des tangentes menées à une courbe du degré p aux points où elle est rencontrée par une transversale quelconque, rencontre cette courbe en p{p — 2) points qui sont à une ligne du degré (p — 2).

Ces théorèmes sont d'un grand usage dans la théorie des courbes du troisièmejegré.

En particulier, on peut prendre pour transversale la droite à l'infini, et l'on arrive à celte nouvelle propriété des courbes géométriques.

Théorème LXXVII. — Les p[p — 2) points d'intersection d'une courbe du degré p avec ses propres asymptotes sont à une, ligne du degré {p — 2).

Àiflieu de deux transversales, on peut considérer une conique quelconque, et l'on arrive à celte conséquence :

Théorème LXXVIII. — Si par les ap points d'intersection

THÉORIE DES TRANSVERSALES. Io5

d'une conique et d'une courbe du degré p on fait passer un système de p droites telles^ que deux d'entre elles ne se coupent pa^ sur la conique y les p(p — 2) points d'intersection {non situés sur la conique) de ces droites avec la courbe sont à une courbe du degré (p — 2).

Ce théorème renferme, comme cas particulier, le théorème LXXV.

9. Polygones inscrits dans les coniques. Généralisation du théorème de Pascal.

Si l'on se donne un polygone de 2/7 sommets inscrits dans une conique, les ip côtés de ce polygone pourront être rangés en deux groupes tels, que chaque côté du premier aura son opposé dans l'autre groupe. On a ainsi des groupes opposés.

Soient G et H ces deux groupes. Chacun d'eux peut être regardé comme une courbe du degré p. Les deux courbes ainsi définies coupent aux mêmes points la conique donnée ; donc les p{p — 2) points d'intersection de ces deux courbes, non situées sur la conique, sont à une courbe du degré {p — 2 ). De là ce théorème :

Théorème LXXIX. — LorsquUin polygone cTun nombre de sommets pair est inscrit dans une conique, les points d'intersection, non situés sur la conique, des groupes opposés for* mes par les côtés de ce polygone, sont à une courbe d*un degré égal à la moitié moins deux du nombre des sommets du polygone.

C'est la généralisation du théorème de Pascal sur l'hexagone.

Considérons maintenant un polygone de p côtés, inscrit dans une eonique, et par chaque sommet menons la tangente à la courbe. Nous formerons ainsi un nouveau polygone de p côtés. Nos deux polygones peuvent être regardés comme deux courbes du degré p. Ces deux courbes se coupent en /?' points, dont ip sont situés sur la conique; donc les p(p — 2) autres

Io6 LITRE lY. GHàP. II. THÉORIE I»ES TRANSVERSALES.

points d'intersection sont à une courbe du degré (/> — ^ a ). De là ce théorème qu'on aurait pu déduire du précédent :

Théorème LXXX. — Lorsqu'un polygone est inscrit dans une conique, si l'on forme un autre polygone en menant, par les sommets du premier, les tangentes à la conique, les points d'intersection des côtés de ces polygones sont à une courbe d'un degré inférieur de deux unités au nombre de leurs côtés.

THÉORIE DBS 80H1IBT8. IO7