Équation anharmonique des degrés p et q

Nous donnerons à cette équation le nom d'équation anharmonique, des degrés /?, q, entre les variables x et a. Considérée au point de vue purement algébrique, elle ex-

Il8 LIVRB V. — GHAPITHB II.

prime une relation entre x et a, laquelle jouit des propriétés suivantes :

A une valeur de x correspondent q valeurs déterminées de a, à chacune desquelles correspond un même système de p valeurs de x^ comprenant la valeur d'où Ton est parti.

Réciproquement :

A une valeur de a correspondent p valeurs déterminées de Xy à chacune desquelles correspond un même système de valeurs de a, comprenant la valeur d'où l'on est parti.

On peut d'ailleurs démontrer que si les x et les a ont entre eux une correspondance qui jouisse des propriétés précédentes, ces variables satisfont à une équation de la forme indiquée plus haut.

En effet, un groupe de q valeurs de a se trouve correspondre, sans ambiguïté, à une fonction symétrique quelconque des p valeurs composantes du groupe en x correspondant, par exemple, à la somme a de ces valeurs, laquelle correspond elle-même, sans ambiguïté, à ces groupes de q valeurs i de a. Donc, « et o- sont liés entre eux par une équation algé- I brique du degré g en a et linéaire en <j dont la forme générale est

X et étant des polynômes du degré q.

On verra de même que les x et les sommes X des valeurs composantes des groupes en a sont nécessairement liés entre eux par une équation dont la forme générale est

vK;r)-|->(p(^) = o,

4* et 9 étant des polynômes du degré p.

D'autre part, o* et > ont une liaison telle, qu'à une valeur de (T correspond une seule valeur de X et qu'à une valeur de A correspond une seule valeur de œ; d'où il résulte que ces variables sont liées entre elles par une équation de la forme

aXo- 4- &X -H co- 4- rf = o,

a, 6, c, d étant des constantes.

La relation entre les x et les a résulte de l'élimination de X