Forme simplifiée de l'équation anharmonique

D'après cela, désignons par

l'équation du degré (p — i) qui représente le groupe des x qui contient une valeur infinie (ce groupe existe nécessairement puisque x peut prendre toutes les valeurs possibles),

et par

^i(tx) = o

l'équation du degré (q — i) qui représente le groupe des a qui contient une valeur infinie.

Soient, en outre,

vKa) = o

et <^{x) = o

120 LIVRE V. GUAPiTRB II.

les équations des degrés qeip qui représenteront les groupes correspondants à ceux qui viennent d'être définis.

. L'équation anharmonique pourra s'exprimer à l'aide de quatre fonctions cp, 9,, <]; et ^i et d'un seul paramètre arbitraire.

L'équation aux x peut d'abord être mise sous la forme

9,(ar)H->(p(^) = o,

l désignant la somme variable des valeurs composantes des groupes en a.

De même, l'équation aux a peut être mise sous la forme

i};,(a)H-cr^j>{«) = o,

(j désignant la somme variable des valeurs composantes des groupes en x.

La relation entre X et o- est de la forme générale

a>(7 -4- 6 X H- ctT H- rf = o.

Or, de la nature des quatre fonctions 9, 9,, ^y vj^i, il résulte que celle équation doit admettre les systèmes de solutions

( (j = oo , ( l =00 ;

on a donc

et la relation entre X et o- se réduit à la forme

X(7 = const.

Par conséquent l'équation anharmonique se réduit à

k désignant une quantité constante.

On peut disposer de cette constante de manière à rendre correspondantes deux valeurs quelconques de ^ et de a non comprises dans les groupes auxquels se rapportent les fonctions 9, 9i, ^ ei 4*1.