HOMOGRAPHIE SUR LES DROITES ET AUTOUR DES POU«TS. I 2 I

7. Conditions pour qu'une équation des degrés p et q en x et a soit anharmonique.

Celle forme simplifiée de Téqualion anharmonique des degrés p et q en x et a montre que celle équalion conlienl [ilp 4- g) — i] paramèlres arbitraires, d'où il résulte que pour déterminer l'équation anharmonique des degrés p et q, il est nécessaire et suffisant défaire connattre (ip 4- 2Ç — i) couples de valeurs homologues de x et de a.

L'équation générale des degrés p e\ q en x e\ tx. coniienl (/? 4- 1 ) (î -f- 1 ) lermes, et par conséquent (pq -H ^ -h ç) paramètres arbitraires.

On a

(;?(7 H-p + g) — (2;?-}- 2ç— i) = pj — (/> 4-g) -f- 1.

Donc :

Une équation des degrés p, q à deux variables ne peut être anharmonique qu'autant que les coefficients de ses termes satisfont à pq — p — 5 4- 1 équations de condition.

En particulier, pour qu'une équation des degrés (2, 2) soit anharmonique, il faut et il suffît que ses neuf coefficients sa- . tisfassenl à une équation de condition, laquelle consiste, ainsi que M. Chasies l'a indiqué, en ce que le déterminant des neuf coefficients doit être nul ( * ).

Il serait sans doute intéressant de rechercher quelles sont, dans le cas général, les équations de condition dont nous n'avons déterminé que le nombre ; mais cette étude purement algébrique ne peut être essayée dans cet ouvrage.