Propriété générale

La définition même de la correspondance anharmonique conduit à priori à cette propriété générale.

( * ) Mémoire sur la construction des racines des équations du troisième et du quatrième degré (Comptes rendus de V Académie des Sciences y second semestre i855).

111 UVtl.y. CHAPITRK 11.

TnÉORfcMB XCV. — Deux divisions (segmentaires ou tangentielles) homographiques à une troisième { segmentai re ou tangentielle) sont homographiques entre elles,

9. Divisions sur une même droite ou autour d'un même point. — Éléments doubles.

Si Ton suppose que deux divisions homographiques des degrés p, q, segmentaires ou tangentielles, soient établies sur une même droite ou autour d'un même point, il y a lieu de considérer des éléments doubles (points ou droites) dont chacun jouit de la propriété d'appartenir en même temps à deux groupes homologues.

Si les X et les a sont comptés à partir d'une même origine, les coordonnées z des éléments doubles sont évidemment déterminées par l'équation du degré {p + q)

On peut déterminer une homographie des degrés (p, q) en donnant les {p -f- q) éléments doubles et (/> -f- g — i ) couples d'éléments correspondants.

10* Divisions sur des droites différentes ou autour de points différents. — Lieux géométriques.

Lorsque deux divisions homographiques des degrés p^ q sont établies sur deux droites différentes, les deux groupes de points mobiles peuvent être assimilés à deux courbes roulantes dont les tangentes communes sont les droites qui joignent les points des deux groupes ; donc : -

Théorèmb XCVI. — Les droites qui joignent les points des groupes homologues de deux divisions homographiques des degrés p, q enveloppent une courbe géométrique tangente p fois et q fois à l'un et à Vautre des axes des deux divisions.

De même, lorsque deux divisions homographiques des degrés />, q sont établies autour de points différents, les deux

HOMOGRAPHIE SUR LKS DROITES BT AUTOUR BBS POINTS. ia3

groupes de droites mobiles peuvent être assimilés à deux courbes pivotantes. Donc :

Théorème XCYII. — Les points d'intersection des groupes droites homologues de deux divisions homo graphiques des degrés p, q engendrent une courbe géométrique passant p fois et q fois par l'un et par r autre des sommets des deux divisions.

Les axes, dans le cas des divisions segmentaires, et les sommets^ dans le cas des divisions tangentielles, jouent les rôles de tangentes singulières et de points singuliers^ relativement aux lieux géométriques qui viennent d'être définis.