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l48 UTRB TI. — CHÂPITftB I.

courbes prises à Tavance, arbitrairement, dans le deuxième faisceau, pour homologues des trois courbes précédentes. Ces tangentes coupent X en des points v. , Vt et vs •

Cela posé, imaginons deux courbes homologues quelconques. La tangente à la première, au point m, coupera X en un point /x, et la tangente à la seconde, au point n, coupera X en un point v.

Les points ^i ei v établissent sur la droite X deux dii^isions homo graphiques y des degrés (i, i), dans lesquelles fii et V|, fXs et Va, yii et v» sont trois couples de points homologues.

En effet, le point |x détermine la droite myi. Cette droite, considérée comme tangente à une courbe du premier faisceau, détermine une seule courbe de ce faisceau. Cette courbe détermine son homologue dans le second faisceau, laquelle détermine à son tour sa tangente nv qui coupe Taxe X au point V.

Un raisonnement analogue fait voir comment on passe du point V au point fx.

Donc les points /x et v se correspondent mutuellement sans ambiguïté, et conséquemment ils déterminent sur X deux divisions homographiques des degrés i, i.

ïl est clair d'ailleurs que /x, et Vi, /x, et v,, fXj et Va forment dans ces divisions trois couples de points homologues.

Conséquemment, pour être à même de passer d'une courbe à son homologue, par voie purement géométrique, il suffit de savoir passer d'un point à son homologue, dans des divisions homographiques des degrés i , i , établies sur une même droite, et définies par trois couples de points homologues.

Cette question peut être résolue géométriquement de plusieurs manières ; mais nous sortirions du cadre de cet ouvrage si nous entrions dans des détails à ce sujet (^). , Observons ici qu'on peut définir les trois couples de courbes homologues qui sont prises arbitrairement, en se donnant trois points a, b, c du plan par chacun desquels doivent passer deux courbes homologues.

(*) Foir la Géométrie supérieure de M. Chasles.

GÉNÉRATION ANHARKONIQCB ET CONSTRUCTION DBS COURBBS. l49