Principe de la génération anharmonique des courbes

Nous avons vu dans le livre V que :

Si deux courbes pivotantes^ des degrés m et n, sont liées anharmoniquementy le lieu géométrique des intersections des courbes homologues est *une courbe géométrique du de-gré (m-hn) passant par tous les pivots ( * ).

Comme d'ailleurs la liaison anharmonique des deux courbes peut être obtenue par des constructions très-simples et purement géométriques, il est possible de construire les courbes de degrés supérieurs au moyen des groupes de points résultant des intersections de deux courbes pivotantes de degrés moindres.

Soit p le degré dé la courbe que Ton veut construire ; décomposons-le en deux parties entières, posant

« u.- . j m'-h3m — a . . ^ Prenons un groupe arbitraire de points et un

autre groupe de points.

Le premier groupe pourra être pivoté par une courbe du degré m; sous ce point de vue, il déterminera de lui-

même • autres points, qui s ajouteront a ceux qui

ont été pris arbitrairement, pour constituer une base de m' pivots. De même, le second groupe pourra être pivoté par une

courbe du degré n et déterminera autres points

qui formeront avec lui un groupe de n^ pivots.

Pour définir la liaison anharmonique des deux courbes pi votantes, il suffira de prendre, dans le plan, trois nouveaux points arbitraires, par chacun desquels devront passer deux courbes homologues.

(*) Chàsles, Deux théorèmes généraux sur les courbes et les surfaces géométriques de tous les ordres (Comptes rendus y 28 décembre 1857).

f5o LIVRE YI. — CHAPITEB I.

Les points d'intersection des courbes homologues engendreront alors une courbe du degré /?, laquelle passera par tous les pivots et par les trois points arbitraires dont nous venons de parler, soit en tout par (in' + /i'+3) points, parmi lesquels

il y en a ^ — ■ — qui ont ete pris arbitrairement.