Difficulté lorsque p dépasse 2. — Question préalable
La construction d'une courbe du degré /?, au moyen de deux courbes pivotantes des degrés m et n, se faisant au moyen
de I £ii- i — (mn — i)j points arbitraires, et ce nombre
étant inférieur à ^^ dès que p surpasse 2, il en résulte
que pour la construction des courbes d'un degré supérieur à 2, on ne pourra pas former les bases à priori^ au moyen dé^ groupements de quelques-uns des points donnés.
La détermination des bases devient alors une question préalable, et nous allons examiner ce qu'il y a d'arbitraire dans cette détermination.
Supposons qu'on ait donné ^^ points pour (Jeter-
GÉNfilUTIOfN ANHàIMONIQUK ET CONSTRUCTION DBS COURBES. l5l
miner une courbe du degré p qu'il s'agit de construire au moyen de courbes pivotantes des degrés m et n. (On suppose m^n=p).
Rapportons la figure à deux axes de coordonnées, en géométrie cartésienne.
Mettons à part trois des points donnés, et soient (^i, bi), («ï> ft»)» (^8> *j) leurs coordonnées.
Soient en outre a et 6 les coordonnées de l'un quelconque des autres points donnés.
Désignons :
Par f {Xy jr) = o, l'équation de la génératrice inconnue,
du degré m, qui passe par le point (ai, 6|); Par 9i(ar, jr) = Oy l'équation de la génératrice inconnue,
du degré m, qui passe par le point {aj, b,); Par 4* (^9 x) =^ ®» réqualion de la génératrice inconnue,
du degré n, qui passe par le point (a. , fri); Par ^j^i(^, ^) = o, l'équation de la génératrice inconnue,
du degré n, qui passe par le point (a,, 6t).
La détermination des bases revient évidemment à celle des coefficients de ces quatre équations. Dans chacune d'elles on peut supposer que l'un des coefficients a été pris égal à l'unité. Le nombre des coefficients inconnus est alors égal à
[/n (m + 3) -I- w (/i -H 3)] ou (/>'-h3/? — am/t).
Cela posé, les courbes pivotantes des degrés m et n ont pour équations
et
^'f^» r)-+-vtj;(a:, j) = o,
[i et V désignant deux paramètres arbitraires; et la relation, entre deux valeurs de /jt et de v correspondant à deux génératrices homologues, est nécessairement de la forme
afiy -f- 6|x -h cv -h rf = o.
Or, les équations 9 = et \|/ = o représentant deux génératrices homologues, on doit avoir v==co pour ix = o.
iSl LIVRB VI. — CHAPITEE I.
De même, <ft = o el^^ = o représentant deux génératrices homologues, on doit avoir /x = oo pour v = o.
Par conséquent, l'équation en fx et v se réduit à la forme simple
fjtv = k.
On peut d'ailleurs déterminer la valeur de A* en observant que par le point {at, 6s) doivent passer deux courbes homologues, d'où il résulte qu'à
correspond et que l'on a
4; (as, 63)' ?i(«3, 63) ^K» *>)'
D'après cela, l'équation de la courbe à construire peut être présentée sous la forme
? l^f y) ^ ^ (^> r) y(^3> ^) ><. 4^ .(^3, fe^) <pi(^> r) 4''(^» r) ?•(«»» *3) +(«»» *0*
Cette courbe devant passer par tous les points {a, b), on doit avoir, pour chacun de ces points, lesquels sont au nombre
de (£ £ — 3 j» la relation suivante
de là 6
y(fl, fe)ip,(g, fr) cp(g», fe3)4^i(fl3, i^s) . 9,(a, b)^{a, b) (p.(a,, 63)vp(aj, ia)'
^- *- — 3 j équations entre les coefficients cherchés.
En y ajoutant les équations
9 (ai, 6.) = o, ^{a,, bi) = o, 9^(«ï> 6a) = 0, v|;,(a,, 6,) = o,
GÉNÉRATION ANHARHOIIIQUB BT G0N8TEUGTI0N DES COURBES. l53
qui résultent des hypothèses que nous avons faites sur la nature des fonctions (f, 91, ^^ v|;i, on a définilivement entre les
coefficients cherchés ( ^ ^ -+- 1 j équations.
On se rend d'ailleurs compte que ces équations sont suffis santés pour exprimer complètement que les groupes cherchés seront aptes à la construction de la courbe.
En résumé, les (p*-H3/i — Timn) coefficients inconnus doivent satisfaire à (^ ^-f-i) équations seulement; d'où il
résulte que j &- *- — (2m/H-i) j de ces coefficients peuvent être pris arbitrairement, et qu'ils déterminent les (2 m» -h i) autres, sauf les cas d'incompatibilité ou d'indétermination qui pourraient se présenter dans le système des équations à résoudre.
Au lieu de prendre à priori ^ ^ — (am/i^-i) des
coefficients qui figurent comme inconnus dans nos équations, oh peut compléter le système des équations données en y
ajoutant 1 ^ ^ — (am/H- i) 1 équations arbitraires. Si l'on
désigne par (a, P) les coordonnées d'un point (donné ou construit, mais connu) de la courbe cherchée, on peut exprimer que ce point fait partie de l'un des groupes de pivots en posant simplement, soit
<p(a, (3) = o, soit
suivant qu'on veut faire entrer ce point dans la première ou la deuxième base.
L'indétermination qui règne dans le choix des bases génératrices peut donc être traduite en ces termes simples :
Qu'on peut généralement placer -^ ^ — (2 m» -h 1
des pii/ots en des points connus de la courbe à construire.
l54 LITBB TI. — CHAPITltB î.
Le nombre dès pivots arbitraires peut encore s'écrire
(m — ny-^3p — 2
celui des pivots non arbitraires est
