Solution générale du problème

D'après cela, la solution générale du problème de la détermination des bases peut être effectuée comme il suit.

On divisera les points donnés en trois groupes :

1° Les points (a, p) que Ton veut faire entrer dans la première base.

2° Les points (a', (3') que Ton veut faire entrer dans la deuxième base.

I Le nombre total des points de ces deux groupes doit être

3® Les points {a, 6), au nombre de (2/n/n- i), qui ne doivent faire partie d'aucune base.

Considérant alors: i® deux fonctions (^(x, y) et (fi{x, j),

. . , ^ . , m(/nH-3) du degré m, ayant chacune un paramètre connu et — ^

paramètres inconnus; 2,^ deux fonctions ^{x, y) ^^ ^ii^f X)f

du degré /i, ayant chacune un paramètre connu et — -

paramètres inconnus, on déterminera les (m*-|-n'+ 3/?) inconnues au moyen des six systèmes d'équations :

4; (a', (3')=o, vp.(a', (3') = o,

Le nombre de ces équations est précisément égal à celui des inconnues.

GÉNÉRATION ANHàRMONIQDB ET CONSTRUCTION DES COURBES. l55

Les [(m — ny-hip — 2] premières sont linéaires; les {imn H- 1 ) dernières sont du second degré.

Ayant déterminé les inconnues, on posera

et ces équations représenteront deux courbes dont les intersections détermineront la première base.

La difficulté du problème réside d'abord dans la détermination des coefficients inconnus, et en second lieu dans la recherche des intersections de deux courbes, intersections qui sont partiellement connues à Tavance.

6. Simplification du problème dans le cas où m est égal à i .

Examinons en particulier le cas où m est égal à i, c'est-àdire le cas où Ton veut engendrer la courbe du degré p au moyen d'une droite pivotante et d'une courbe pivotante du degré (p— i).

On prendra pour première base { le pivot de la droite) un

quelconque des ^^ points donnés.

11 s'agira alors de former la deuxième base.

Celte base doit se composer, de (/? — i)' pivots, parmi lesquels il y en a °^P '^ d'arbitraires et ^ — à dé-

terminer.

Désignons par ^ et yj les coordonnées du point que Ton choisit pour pivot de la droite mobile;

Par a et j3 les coordonnées d'un point quelconque du groupe

de ^^ points, qu'on choisira parmi les points donnés

pour constituer les pivots arbitraires de la seconde base;

Par aex b les coordonnées de l'un quelconque des points donnés, au nombre de (2/> — i), que l'on n'a pas fait entrer dans les bases.

Prenons deux positions particulières de la droite pivotante, par exemple celles qui sont parallèles aux deux axes de coor-

l56 LITBB TI. — CHAPITM I.

données. Nous aurons pour équations de ces deux droites

Désignons par et

les équations des deux courbes génératrices qui devront être les homologues de ces deux droites.

L'équation de la courbe cherchée pourra être mise sous la forme

Cette équation contient (p^-^p — i) coefficients arbitraires qu'il s'agit de déterminer.

Les conditions par lesquelles cette détermination doît s'effectuer sont les suivantes :

i"" Chacun des points [a, p) devant entrer dans la seconde base, on posera

4/ (a, P) = o et

ce qui donnera, entre les inconnues, p(p — i) équations 11néaires.

1'^ Chacun des points (a, b) devant appartenir à la courbe engendrée, on posera

{a-l)^,[a, 6) = (6-y3) + (a, ft),

ce qui donnera, entre les inconnues, (2/? — i) nouvelles équations linéaires.

On a ainsi un nombre d'équations, toutes linéaires, égal à p(p — 1)4-2/1 — I ou à ip^-hp — 0> nombre même des inconnues.

On voit par là que, dans le cas où m = i, la détermination des équations des deux courbes qui doivent faire connaître la seconde base par leurs intersections, dépend de ia résolution d'un système de (p'-Hp — i) équations simultanées du premier degré.

GÉNteATION AKHARMONIQUE BT GONSTRUGTIOIf DBS COURBES. 167