Simplification analogue dans le cas où m est égal à
Lorsque p surpasse 2, le nombre des pivots arbitraires est toujours au moins égal à 4-
On peut donc faire m = 2 et combiner un faisceau de coniques pivotantes avec un faisceau de courbes pivotantes du degré (p — 2).
On prendra pour première base quatre quelconques des points donnés.
La deuxième base se composera de (p — 2)' pivots parmi lesquels il y en aura -^ '^ d'arbitraires et ^" ^^P ^^
à déterminer.
Désignons par
et
les deux équations de deux coniques quelconques passant par la première base. Ces équations peuvent être formées sans peine, et les fonctions <p(j;, x) ®^ ?i{^> X) peuvent être regardées comme entièrement connues.
Soient maintenant
+ (^, 7) = et
les équations inconnues des deux courbes du deuxième faisceau, qui doivent être les homologues des précédentes.
L'équation de la courbe cherchée pourra être mise sous la forme
Il s'agit de déterminer les paramètres arbitraires, au nombre de {p^ — p — i), qui entrent comme coefficients dans les fonctions 4^ et ip,.
Or, si a et (3 sont les coordonnées de l'un quelconque des
\P ^)[P ) points qui peuvent être pris parmi les points
l58 LIYRB VI. CHAPITRE I.
.donnés pour faire partie de la seconde base, on devra poser
4/ (a, P)=^o, ij;.(a, (3) = o,
ce qui donnera, entre les inconnues, {p — 2)(/? — 3) équations linéaires.
Si d'ailleurs a et 6 sont les coordonnées de l'un quelconque de ceux des points donnés, au nombre de {ip — 7), qui n'ont été attribués à aucune des deux bases, on devra poser
ce qui donnera, entre les inconnues, (4p — 7) nouvelles équations linéaires.
On a ainsi un nombre total d'équations linéaires égal à [{p — '2){p — 3)-\-4p — 7] ou à (p^ — p — i), nombre même des inconnues.
Par conséquent, dans le cas où m = 2, la détermination, des deux courbes qui doivent faire connaître la seconde base dépend de la résolution de {p^ — p — i) équations simultanées du premier degré.
8. Impossibilité d'étendre la méthode simplifiée au cas où m surpasse 2.
La méthode simplifiée que nous venons d'indiquer ne peut pas être employée lorsque m surpasse 2.
C'est-à-dire qu'on ne peut pas en général prendre de toutes pièces parmi les points donnés la base pivotable par la courbe du degré m; et cela tient à ce que les m^ points qui composent cette base ont entre eux des relations telles, qu'ils ne sont pas tous arbitraires.
La complication que présente alors ce problème de la construction anharmonique paraît de nature à faire rejeter la méthode si les points donnés ne contiennent pas exceptionnellement un groupe de m' points pivotables par la courbe du degré m.
Lorsque cette condition existe, la seconde base peut être déterminée par une méthode simplifiée analogue à celle que nous venons de décrire.
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