Cas d* indétermination

Il peut arriver exceptionnellement que ^-^ ^points

donnés ne déterminent pas une courbe. C'est ce qui a Heu,

tSd LITKB Tl. CHAPITRB II.

par exemple, lorsque ces points font partie d'un groupe pivolable par une courbe du degré p.

Dans ce cas, il faut ajouter à ces points, pour déterminer la courbe, un autre point extérieur au groupe pivotable.

Il y a d'ailleurs d'autres cas d'indétermination.

3. Conditions pour qu'une courbe du degré p soit composée de deux courbes compagnes des degrés q et p — q.

Une courbe du degré p ne pouvant être rencontrée qu'en pq points par une courbe du degré q, il' en résulte que si une courbe du degré q a {pq -h i ) points sui une courbe du degré/?, elle fait nécessairement partie de celte dernière courbe, laquelle se compose alors et de la courbe en question et d'une courbe compagne du degré (p — q).

Cela posé, considérons ipq+ i ) points (a, P), appartenant à une courbe du degré q. Pour exprimer que cette courbe fait partie d'une courbe du degré p, il sera nécessaire et suffisant de poser les {pq •+- 1) équations linéaires

entre les coefficients de la courbe cherchée.

Si maintenant nous prenons iP Ç)\P ?•+; — ) ^qi^^^

quelconques (a, b) déterminant une courbe du degré (/? — ç), nous exprimerons que cette courbe est associée à la courbe du degré q, pour constituer une courbe du degré p, en posant les ^P~^i^P^—9-^ ) équations linéaires

Les systèmes (i) et (2) doivent déterminer les ^^^"^^^ coeffi-

cients de l'équation générale de la courbe du degré/? et sont forcément résolubles au moyen de valeurs convenables de ces coefficients.

INTERSECTIONS DES COURBES ET COURBES OSCULATRICES. l(>3

Or on a identiquement

Par conséquent, dès que q surpasse a, les systèmes (i) et (2)

contiennent un nombre d'équations supérieur de I ^^ ^ +1 I

au nombre des coefficients inconnus. Mais puisque ce système est nécessairement résoluble, il en résulte que parmi les (pq -f- 1) équations

il y en a nécessairement I 21^ 2 j i | qui -rentrent dans

les j pq — ^-^-2 1 j autres et qui peuvent être supprimées

comme surabondantes.

De là cette conséquence :

Pour qu'une courbe du degré q appartienne tout entière à une

courbe du degré p, ilsuffitque j pq — ^^ j points de la

première courbe^ susceptibles de la déterminer, appartiennent à la seconde (* ).