Conséquences de Vobservation précédente
Il résulte de cette observation que les points d'intersection, au nombre depq, d'une courbe du degré p avec une courbe du degré q, ne peuvent pas être considérés comme des points arbitraires de cette seconde courbe.
Parmi ces points il n'y en a que j pq — 2A2 1 — i j
(*) Jacobi, De relationibus quse locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvarum, etc. (Journal de Crelle, t. XV; Berlin, i836).
l64 UVRB VI. CHAPITRE II.
OU g(^P 9f^ ^ ? ^ qui puissent êire pris arbitrairement,
0' — 3<7 -h 2 et ces points déterminent les -2 — ; — 2 autres.
De là cette nouvelle remarque :
Toute courbe du degré p qui passe par ^ — ^ ^
points déterminateurs (Tune courbe du degré q <^p passe nécessairement par 2 autres points fixes de cette
courbe (*).
Observons d'ailleurs qu'on a identiquement
p(P + 3) <y(2p — (y)+3<7--2 ^ (/? — gr+ 3(/? — g)4-2 22 2
par conséquent le nombre ^-L£ — ^^ ^ est inférieur
au nombre de points nécessaire pour déterminer une courbe du degré /?.
5. Intersection de deux courbes des degrés pyq, qui ont en commun un groupe de points pivotables.
Supposons que deux courbes des degrés p <iq aient en commun un groupe pivotable de m' points (m^<C^pq).
La première de ces courbes pourra être construite anharmoniquement au moyen d'une pivotante 2 du degré m, passant par le groupe commun, et d'une pivotante homologue, 2», du degré {p — m).
La seconde courbe pourra être construite au moyen de la même pivotante 2 et d'une autre pivotante homologue, 2a, du degré {ç — /n).
Il est manifeste que les courbes 2i et 25 sont homographiques entre elles. Elles peuvent servir à la construction d'une courbe du degré {p-hq — 2 m) qui passera par ceux
(*) Cremona, Introduzione aduna teoria geometrica délie curve piane ; Bologne, 1862.
INTERSECTIONS DES COURBES ET COURBES OSCULATRICBS. l65
des points d'intersection, au nombre de (pq — m'), des deux courbes données, qui sont étrangers à la base commune, et en outre par les (/? — my et {q — my pivots des génératrices 2, et 2s. Par conséquent :
Lorsque deux courbes, des degrés p, q, ont en commun une base pivo table de m* points, on peut construire une courbe du degré {p-hq — 2m) passant par les autres points d'intersection des deux courbes données et par deux bases de [p — m)' et de (q — m y points, lesquelles peuvent être respectivement associées à la base commune pour la construction de chacune des courbes données,
