Application aux courbes du troisième degré

En faisant/? = 3 et ? = 4, on reconnaît que par trois points quelconques, extérieurs à une courbe donnée du troisième degré, on peut faire passer une courbe du quatrième degré osculatrice à la première en un point donné.

Le contact est du dixième ordre, c'est-à-dire que la courbe osculatrice a onze points infiniment voisins sur la courbe proposée.

Et toutes les courbes osculatrices du quatrième degré qu'il est possible de construire passent par un même point appartenant à la courbe donnée et différent du point d'osculalion.

l68 UYBE Tl. — GHAP. II. — INTEUSSCTIONS BBS COURBES, ETC.

Si Ton considère en particulier deux de ces courbes osculatriceSy on voit qu'elles ont douze points communs sur la courbe du troisième degré considéré. Par conséquent, leurs quatre autres points d'intersection sont en ligne droite.

Et généralement :

Lorsque deux courbes de degré q osculent en un même point une courbe du degré p<^q, les q {q — p) points d'intersection des deux premières non situés sur la dernière sont à une courbe du degré (q — p).

PROPRIÉTÉS d'un &TSTÈHB DE POINTS NON EN LIGNE DROITE. 169