Solutions étrangères

Il ne faut pas conclure de ce qui précède que les points centraux d'un système de p points du plan soient au nombre de (2/? — 1)'. Les équations précédentes sont vérifiées par le système (^„ jr), qui correspond à la position A, du point V, position pour laquelle P s*annule. Par conséquent il faut éliml^ ner, comme étrangers à la question, les p points donnés.

Restent(2;? — i)' — poix [(np — 1)(2/? — 2)-h(p — i)J points, parmi lesquels se trouvent probablement des points imaginaires.

k. Disparition des solutions imaginaires.

On peut déterminer isolément les points réels qui satisfont à la question en ayant recours aux quantités imaginaires de la forme (a -i- 6 \/ — i ) .

PROPRIÉTÉS d'dn STSTÈMB DE POINTS NON CN LIGNE DROITE. 17!

Les deux équations dérivées, posées au n" 2, peuvent s'écrire

Et dans l'hypothèse où x,x, x,yy, représentent des quantités réelles, on peut substituer à ces deux équations l'équation unique

w^p {x—x,) — (r — rO V— ' __ Q

^. ^x—x,J^^y—y,Y ~ ' Observant que

on aura simplement

OU encore

yP I

Désignons par z et z« des coordonnées sy^mboliques, telles que Ton ait

zz=x-hx\f—^ ^^ Zt=^Xs'\-X^sJ 1.

Nous poserons

f{z) = (Z — Zx)[Z — Z;j...(Z — Z,)...(Z~ Zg)y

et les points donnés pourront être regardés comme les points racines de Téqualion entière et du degré p

En effet, toute racine z, de celte équation, étant ramenée à la forme [x, -f- J# si — i ), fera connaître Tabscisse x^ et l'ordonnée X, du point A,.

L'équation pourra s'écrire

ou plus simplement

Elle est du degré (/> — i); chacune de ses racines étant ramenée à la forme (Çz-f-vî^V — ^"ï) fera connaître l'abscisse \t et l'ordonnée yjf d'un point central du système donné.

Par conséquent,

Les points centraux d'un système de p points du plan sont au nombre de {p — i).

Les {ip — 0' points trouvés au n° 2 se composent : I*» Des p points donnés; 2° Des {p — I ) points centraux ;

3*» Des {ip — i){^p — 2) points imaginaires; ce dernier nombre est forcément pair.