Méthode des rayons vecteurs réciproques
Si Ton fait />=/>'= i, l'équation (i) prend la forme
(3) azz^-i- bz -^-cz' -hd=o,
et l'on a une méthode particulière de transformation.
A la droite à l'infini de la première figure, pour laquelle z = cc y correspond un point J' de la seconde, dont la coor-
donnée est
A la droite à l'infini de la seconde figure, pour laquelle
-2*= 00, correspond un point I de la première, dont la coor-
donnée est
Si l'on prend le point I pour origine des coordonnées dans
la première figure, et le point J' pour origine dans la seconde,
on a è = c = o, et l'équation ( 3 ) se réduit à la forme
(4) zz' = l.
Soit M le point correspondant à z; posons IM = r, et désignons par 9 l'angle que fait la direction IM avec la direction positive des x. Nous aurons
z = r(cos9-f-V — I sincp).
l88 LIVRE VII. — CHAPITRE III.
Soil de même M' le point correspondant à z'; posons J'M'=: r'^ et angle M'J'X' = <p'. Nous aurons
z' = r' (cos 9' -h ^ — I sin 9').
Posons enfin
X = *• (cos « -4- ^-^ sin a).
La relation ( 4 ) donnera
La première de ces formules montre que :
Deux rayons vecteurs correspondants ^ IM, J'M', dans les deux figures y sont réciproques, suivant la puissance k.
Pour interpréter la seconde, prenons deux nouveaux rayons vecteurs correspondants IN, J'N', faisant respectivement avec IX et J'X' les angles vj; et v];'. Nous aurons
et, par conséquent,
? — + = +'—?'• Donc :
L'angle formé par deux rayons vecteurs de la première figure est égal à l'angle formé par les deux rayons vecteurs correspondants de la deuxième figure.
On voit ainsi que le genre de transformation dont nous parlons n'est autre que la transformation dite par rayons vecteurs réciproques, laquelle a été employée d'abord par M. Thomson, sous le nom de principe des images, et étudiée par M. Liouville dans un beau Mémoire (*).
h'. Théorèmes sur les groupes associés.
Considérons dans la première' figure un système de p points défini par Téquation
et un autre point dont la coordonnée symbolique est a. (*) Journal de Mathématiques, t. XII, p. 275.
TRANSFORMATION DES PIGURBS, ETC. l8g
Les conjugués de ce point relativement au système donné seront déterminés par Féquation
(z — a)f(z)—pf{z) = o.
La relation qui existe entre deux points correspondants peut s'écrire
cz' -^d
Nous pourrions donc répéter ici les calculs et riaisonnements de la page 33, et nous verrions que si
cp ( z' ) = o
est réquation du système correspondant au système donné, et si a' est la coordonnée du point correspondant à a,
est réquation des points qui correspondent aux conjugués de a. Par conséquent :
Si l'on transforme par rayons vecteurs réciproques la figure formée par un système de points et deux groupes associés relatifs à ce système^ on obtient un nouveau système de points et deux groupes associés relatifs à ce système.
