CLASSIFICATION DES COURBES DU TROISIÈME DEGRÉ. I

esl

négative,

ou positive, OU nulle.

Or si l'on développe la fonction H et si Ton effectue les réductions qui se présentent, on trouve

et comme le facteur -p est nécessairement positif et ne peut

être nul (car d ne peut être infini), on voit que les deux fonctions H et D sont en même temps négatives, positives ou nulles.

Par conséquent :

Si D <; o, la courbe présente à Tinfini trois points réels et distincts, auxquels correspondent trois branches infinies hyperboliques, et on a h famille hyperbolique.

Si D>o, la courbe présente à Tinfini un seul point réel et simple, correspondant à une branche hyperbolique. Les courbes de cette famille se composent généralement d'une branche infinie et d'une espèce d'ovale dont la forme rappelle celle d'une ellipse; de là la dénomination Aq famille elliptique.

Si D = o, la courbe aura à Tinfini, soit un point hyperbolique et un point parabolique , soit un seul point parabolique, en attachante l'expression point parabolique le sens général que nous avons précédemment défini ; de là la dénomination de famille parabolique,

, 3. Classification par les diamètres.

Les courbes du troisième degré admettent des coniques pour diamètres du premier ordre, et des droites pour diamètres du second ordre ou diamètres harmoniques.

La classification en trois familles peut être établie par la considération des diamètres du premier ordre.

Si nous formons, en effet, l'équation du diamètre conjugué

igS APPBNDICE. CBAPITBB I.

de la direction dont le coefficient angulaire est m, en nous bornant aux termes du second degré, nous trouverons

{a -4- mb) x» -h 2 {* -h me) jr^ -|- (c 4- mrf)/' + . . . = o.

La nature de la conique (ellipse » hyperbole ou parabole) représentée par cette équation dépend du signe ou de la nullité de la fonction

(6 4- mcy— 4 (û + ntb) [c + mrf),

fonction que l'on peut écrire

(c' — bd)m^'\-{bc — ad)m-\-b^ — ac.

Les diamètres ^amfto/ii^tte^ correspondent aux valeurs de m, qui sont racines de l'équation

(c* — bd) m» -h (6c — orf) m -f- (6* — oc) = o.

Or cette équation a des racines

imaginaires^ ou réelles et inégales, ou égales^ parfois indéterminées,

selon que la fonction

D = (6c — arfy — 4(6>— w)(c» — W) est

négative^

ou positive,

ou nulle.

D'où l'on conclut que le nombrjB des diamètres paraboliques est

nul dans la famille hyperbolique,

égal à deux dans la famille elliptique,

égal à un ou indéterminé dans la famille parabolique.