NATURE

de la ooniqae centrale.

Famille hyperboli^e.

Famille elliptique....

Famille parabolique..

3 points simples.

I seul point simple.

I point simple et 1 point double ou \ point triple.

I seul

ou

une infinité.

Ellipse.

Hyperbole.

Parabole.

Nous étudierons séparément chacune des trois familles et nous ferons connaître les simplifications que peut comporter réquation générale des courbes du troisième degré. L'emploi des diamètres coniques permet d'effectuer les rédactions avec une grande simplicité.

6, Équation simplifiée de la famille hyperbolique.

Toute asymptote d'une branche hyperbolique d'une courbe géométrique est asymptote du diamètre, de sa propre direction.

Par conséquent :

L'asymptote d'une branche hyperbolique d'une courbe du troisième degré a pour diamètre de sa direction une hyperbole conique à laquelle elle est asymptote.

D'après cela, prenons pour axe des y l'asymptote d'une branche hyperbolique, et pour axe des x l'autre asymptote du diamètre de la direction de cette droite : l'équation

-^ = ^dy^-i-Qcxy 4- 3bx^ -\- igy-h ^fi: -h Ar = o

du diamètre conjugué de la direction de Taxe des y doit se réduire à la forme

xy == const. ;

on a donc nécessairement

b = d=f=zg=o, et l'équation de la courbe du troisième degré devient ax^ -h Zcxy^ -h ex"^ -^hx-h ky -\-J = o.

La fonction D se réduit à ^ac\ et, comme elle doit être négative, on voit que ni a ni c ne peuvent être nuls et que leurs signes sont différents.

Par conséquent l'équation générale des courbes de la famille hyperbolique peut être ramenée à la forme simpliûée

( i) xy^ -h ey = (x}x^ -h Px^ -j- y X -^ à.