Équations simplifiées de la famille parabolique

La famille parabolique se subdivise en deux classes, d'après la nalure des points à l'infini.

PREMIÈRE CLASSE

Un point simple et un point double à Vinfini,

Au point simple à l'infini correspond une branche hyperbolique. Nous prendrons l'asymptote de cette branche pour axe des y et nous prendrons l'axe des x comme ci-dessus. Raisonnant comme précédemment et remarquant que D est nul par hypothèse et que c ne peut pas être nul, sans quoi le point à l'infini serait triple dans la direction de Taxe des j, nous trouverons pour forme simplifiée de l'équation générale des courbes de cette classe

(3) xy"^ -f- ej= p^» -i^yx -\-d.

DEUXIÈME CLASSE

Un point triple à l'infini.

Laissant d'abord aux axes des coordonnées une certaine indétermination, nous prendrons pour axe des j une droite quelconque passant par le point à l'infini, et pour axe des x une droite entièrement arbitraire.

Dans cette hypothèse, l'équation en fx devant avoir trois racines infinies, on aura

b = c = d=Oy

et l'équation générale des courbes de cette classe deviendra

ax^ -h ex^ -+- ifxy -i- gy^ -{- hx -^ ky -{■■ l = o.

202 APPENDICE. — CHAPITEE I.

Le diamètre conjugué de la direction de Taxe des ja alors pour équation

a/r -+- 2g^4- Ar = G.

11 se réduit à une droite qui peut être

I* Inclinée sur l'axe desjr; 2® Parallèle à Vaxe des y ; 3» Située à l'infini.

Nous examinerons séparément chacun de ces trois cas.

Premier cas. — Dans le premier cas, nous prendrons pour axe des x la droite qui vient d'être définie, et pour origine un des points d'intersection de cette droite avec la courbe, l'axe des j conservant d'ailleurs la direction du point à l'infini.

On aura alors

et l'équation générale posée ci-dessus se réduira à la forme

(4) y^ z= oLx^ -^^ ^x^ + y X.

'Deuxième cas. — Dans le deuxième cas, nous prendrons pour axe des/ la droite même qui représente le diamèfre de la direction du point à l'infini. On aura alors

et l'équation prendra la forme

ax^ -f- ex^ + ^jfey* -H A^ -H / = o.

L'axe des x étant resté arbitraire, nous pourrons le choisir de manière à produire une simplification nouvelle.

L'équation du diamètre de la direction, dont le coefficient angulaire est m, se réduit à

3dw?»-}- 2(e4- m/)j?-f- 2j^-|- A = o.

A la valeur particulière

correspond le diamètre dont l'équation est 3ax^-\- xfx+ h=:o.

GLàSSIPIGàTION DBS CQURBES DU TROISIÈME DEGRÉ. 2o3

Le coefficient a ne peut pas être nul , sans quoi la courbe proposée se réduirait à une conique; le coefficient /ne Test pas non plus, sans quoi la courbe se réduirait à un système de droites parallèles, cas que nous examinerons à part; donc notre diamètre est nécessairement une parabole, que Taxe des y rencontre au point à distance finie dont l'ordonnée est

Plaçons l'origine en ce point de rencontre et prenons pour axe des x la tangente à la parabole ; nous aurons nécessairement

et réquation générale correspondante au cas que nous étudions se réduira à la forme très-simple .

(5) Xy:=OLX^-\'^X^-\'i.

Troisième cas. — Dans le troisième cas, on a nécessairement, par hypothèse,

et réquation se réduit à

ax^-\'CX^ -h Ao: -h A*/ -h /= G.

Le diamètre de la direction dont le coefficient angulaire est m a pour équation

3 ax^ -f- 2 eo: -h ( A -h mfc) = o ;

il se réduit toujours à un système de deux droites.

k ne peut pas être nul, sans quoi la courbe se réduirait à un système de trois droites parallèles, cas que nous examinerons à part; a ne peut pas non plus être nul, sans quoi la courbe serait une conique. Par conséquent, la direction définie par

e' — 3ah

m= — -— — 6aK

est oblique sur Taxe des y.

Le diamètre de cette direction particulière se réduit à une

droite double, passant par le point à Tinfini. Prenons celte

droite pour axe des j, nous aurons

APPENDICE. CHAFITBE I

et, par suite»

Prenons un a^ie des x parallèle à cette dernière direction, et plaçons Torigine au point d'intersection de la courbe avec Taxe des y. Nous aurons

et l'équation générale, correspondante au cas qui nous occupe, se réduira à la forme très-simple

(6) r=OL3d^.

Cas particulier, — Enfin, le cas que nous avons négligé tout à l'heure, celui où la courbe se réduit à un système de droites parallèles, donne évirlemment lieu à l'équation simplifiée

(7) ajr*-f-yj: + 3 = o.