Points d*inJlexion

La tangente en un point d'inflexion étant la position limite d'une sécante qui rencontre la courbe en trois points infiniment voisins, le point d'inflexion est un point central double sur cette droite.

Par conséquent :

Théorème IX. — La tangente en un point d'injlexion touche en ce point le diamètre du premier ordi^ de sa direction et coupe en ce point le diamètre du second ordre.

D'après cela, si m désigne le coefficient angulaire de la tangente en un point d'inflexion, les coordonnées de ce point doivent vérifier les trois équations

Éliminant m, on arrive aux deux équations

des degrés p et (3/? — 4)> qui doivent être vérifiées par les coordonnées de tous les points d'inflexion. D'autres considé-

l4 LIVRE I. CHAPITRE III.

rations permettent de remplacer la seconde par une équation du degré 3(p — 2)(*).

Le caractère essentiel des points d'inflexion consiste en ce que la tangente à la courbe en un de ces points présente un contact d'une intimité particulière.

Ce contact est habituellement du second ordre; mais on peut considérer des contacts plus intimes encore et on arrive ainsi à la notion des points d'inflexion de différents ordres.

Nous appellerons point d'inflexion de l'ordre n tout point où la courbe présente, avec sa tangente, un contact de Tordre (/i-hi).

Les pointsd'inflexiondu premier ordre existent généralement dans les courbes, tandis que les points d'inflexion d'un ordre supérieur ne s'y trouvent qu'exceptionnetlement, lorsqu'il existe certaines équations de condition entre les coefficients de l'équation de la courbe.

Le théorème II, relatif aux points centraux, conduit sans difficulté au théorème suivant, relatif aux points d'inflexion :

Théorème X. — Un point d'inflexion de V ordre n est situé sur tous les diamètres^ d'ordre inférieur à (/i -h 2), de la direction de sa tangente. Dans un diamètre de l'ordre n'<^ /i, un point d'inflexion d'ordre n, dé la courbe y est un point d'inflexion d'ordre {n — n').