Diamètres

On démontrerait, comme pour les hyperboles redondantes, que, pour obtenir le centre du diamètre conjugué de la direction CZ, il suffit de mener OM parallèle à CZ, puis MN parallèle à OY. Le point N, situé sur l'hyperbole centrale, est le centre cherché.

Si Ton prend CZ parallèle à une des asymptotes de l'hyperbole centrale, la construction précédente conduit à un point à l'infini dans la direction de l'autre asymptote de cette hyperbole ; d'où il résulte que le diamètre correspondant est parabolique.

Par conséquent :

Théorème X. — Dans toute hyperbole difective il y a deux diamètres paraboliques, lesquels correspondent aux directions des asymptotes de V hyperbole médiane.

L'équation des diamètres en général est

— 3a'^^4-2(3.r H- y — y^ — m(2^j-he) = o.

Les deux diamètres paraboliques ont pour équations respectives :

[y -h sfZoLxY =2[3a7-4-y-t-€a^,

COURBES DE LÀ FAMILLE ELLIPTIQUE. 2l5

Si l'on retranche Tune de Taùire ces deux équations et si Ton divise par 'iolsJZ Téquation résultante, on obtient l'équation

de rhyperbole médiane. D*où Ton conclut que les deux diamètres paraboliques se coupent sur l'hyperbole médiane.

Ces points d'intersection fji, v, . . ., ne sont autres que les pôles de Vinjini relatifs à la courbe donnée. Ils appartiennent donc à tous les diamètres.

k. Nouvelle forme de V équation.

La courbe centrale étant une hyperbole, on peut se proposer de rapporter l'équation de la courbe aux deux asymptotes de cette hyperbole prises pour axes des coordonnées.

Reprenons l'équation générale

flj:^-}-3 bx^y-\-^ cxy^-^ dy^-^ ex^-i- a/irj-Hg^H- hx-^ky-\'l= o.

L'équation générale de la courbe centrale est

^[{ac — b^)x^-Jr{ad — bc) xy -\- (bd — c^) y""] "^ 5 [(«g*— ^ */-+- ^^) ^ -H (^g" — 2C/-+- de)x] 4- ge — /» = o.

Cette équation devant se réduire à la forme

xy:=^ const.,

on doit poser

ac — 6^ = 0,

bd — c^ = o,

ag — 1 bf-h ce = o,

bg — 2cf'^de = o,

Ajoutons membre à membre la première équation multi pliée par c et la seconde multipliée par a, nous aurons

b{bc — ad) = o.

Or le facteur {bc — ad), étant le coefficient du terme en xy

2l6 APPENDIGK. CHAPITRE fil.

dans réqualion de l'hyperbole centrale, ne peut s*annu1er;

par conséquent

La seconde équation donne alors

et les deux dernières équations deviennent

ag=o, de^=i o.

D'autre part, le discriminant D se réduit à a*rf% et comme il diffère nécessairement de zéro, il en résulte que ni a ni J ne peuvent être nuls; Donc, en vertu des équations ci-dessus,

Par conséquent Téquation de la courbe se réduite la forme

(2 bis) ax^ H- ftr* -f- 2 cxy 4- rf^ H- ey -}-/= o,

très-analogue à l'équation générale des courbes du second degré.

L'équation de la courbe centrale devient alors

cette courbe se réduit à un système de deux droites lorsque