Propriétés générales
L'équation générale des courbes de la première classe est
(3) ^j^-f-ej=(3^''4-y^-h ày
en faisant usage des axes de coordonnées suivants.
L'axe des j est l'asymptote des branches hyperboliques qui correspondent nécessairement au point simple à l'infini. L'axe des X est l'asymptote secondaire du diamètre hyperbolique
COURBES DB LA FAMILLB PARABOLIQUE. 2ig
qui correspond à la direction de ce point simple. Ce diamètre joue le rôle d'hyperbole médiane. Par conséquent :
Théorème XIV. — Dans toute courbe parabolique de la première classe, le lieu géométrique des milieux des cordes parallèles à la direction du point hyperbolique est une hj-berbole conique, asymptotique à la courbe proposée dans la direction de ce point.
Si Ton cherche, pour obtenir la direction du point double
à TinOni, la limite de ^ pour x infini, on trouve zéro.
Par conséquent :
Théorème XV. — Dans toute courbe parabolique de la première classe, la direction du point parabolique est celle de l'asymptote secondaire de l'hyperbole médiane qui correspond à la direction du point simple.
L'équation du diamètre conjugué de la direction dont le coefficient angulaire est m est
j2 — 2,^x — y-f-/n(2:ry-|-e) = o.
Ce diamètre ne peut être une parabole que pour la direction de Taxe des x^ laquelle correspond à m = o.
Par conséquent :
Théorème XVI. — Dans toute courbe parabolique de la première classe il existe un diamètre parabolique unique, lequel est conjugué de la direction du point double à V infini.
L'équation du diamètre parabolique est
11 est évident que ce diamètre est une ligne médiane relativement aux cordes parallèles à l'axe des x. Nous lui donnerons le nom de parabole médiane de la direction du point parabolique.
L'équation ci-dessus montre que l'axe des x est, relativement à la parabole médiane, le diamètre conjugué de la direction des y.
La courbe centrale a pour équation
C'est une parabole qui louche Taxe des ^à Torigine des coordonnées, ou, si j3 est nul, une droite double coïncidant avec Taxe des x.
Par conséquent :
Théorèmb XVII. — Dans toute courbe parabolique de la première classe, l'asymptote de la branche hyperbolique est tangente à la parabole centrale, lorsque cette courbe ne se réduit pas à une droite double.
Newton a distingué dans celte classe les hyperboles paraboliques et les hyperbolismes de coniques.
