Hyperboles paraboliques

L'équation générale des hyperboles paraboliques est

(3) xy^-\- e7=p:c'-f-y^-t-5,

(3 étant nécessairement différent de zéro.

On déduit de cette équation

-^ IX y ^x^ ^ ' X

et Ton voit que y devient infini en même temps que x.

Par conséquent il n'existe pas d'asymptotes correspondant à la direction du point double à l'infini, et la courbe présente nécessairement des branches paraboliques qui finissent par devenir parallèles à l'axe des x {fig> i, PL II), Si l'on considère la parabole dont l'équation est

y" = (3jr 4- y, d'où

j' = ± \f^x-\-y , on voit que la différence

tend vers zéro quand x augmente indéfiniment.

Par conséquenl :

Théorème XVIII. — Dans toute hyperbole parabolique, il existe une parabole asymptote aux branches paraboliques.

La parabole asymptote et la parabole centrale sont égales entre elles, tournées en sens contraire, et admettent pour diamètre commun de la direction du point hyperbolique V asymptote secondaire de V hyperbole médiane,

La parabole médiane dérii^e de la parabole asymptote en multipliant par ^i, sans déplacer leurs milieux, les cordes menées dans cette dernière parallèlement à la direction du point hyperbolique.

Ce ihéorème résume les relations diverses qui existent entre les deux asymptotes de Thyperboie médiane et les trois paraboles centrale, asymptote et médiane.

L'équation

y* — i^x — y -h m{2xy -h e) = o

du diamètre de la direction dont le coefficient angulaire est m montre que le centre du diamètre de la direction OM s'obtient, au moyen de la parabole centrale, en menant MC parallèle à OY.

Lorsque e est nul, l'hyperbole médiane se réduit aux deux droites OY et OX et Taxe des x devient une droite médiane.

Newton et Stirling ont donné la subdivision suivante :

„ , - , ,. ( sans droite médiane (s^o). 7 espèces.

Hyperboles paraboliques l , . , ^. , f ,

( avec droite médiane (s=:o). 4 espèces.

En tout, onze espèces.