Courbe centrale

Les pôles de l'infini, relatifs à tous les diamètres d'une courbe, forment une ligne intimement liée à la courbe proposée et que nous appellerons la courbe centrale.

Les diamètres ayant pour équation générale

les coordonnées de leurs pôles sont déterminées par les deux équations

et l'élimination de m entre ces deux équations donne

pour l'équation de la courbe centrale.

Le degré de cette courbe est i [p — 2). Lorsque p surpasse 3, le degré de la courbe centrale devient égal ou supérieur à celui de la courbe proposée; cette courbe ne doit donc avoir d'intérêt réel que dans la théorie des courbes du troisième degré.

Elle jouit pourtant d'une propriété générale que nous allons indiquer.

(*) roir Livre II, Ghap. 11, n" i6.

DES POINTS REMARQUABLES. 17

Reprenons Téqualion

du diamètre de la direction dont le coefficient angulaire est m. Si, dans ce diamètre, nous prenons le diamètre d'une autre direction, dont le coefficient angulaire est n, nous obtiendrons une nouvelle courbe dont Téquation sera

Supposons que m prenne successivement toutes les valeurs possibles, n restant constant : les diverses courbes (du degré p — 1) représentées par Téquation ci-dessus passeront évidemment par les points, au nombre de {p — 2)% dont les coordonnées vérifient les deux équations simultanées

Le groupe de points ainsi obtenu se déforme et se déplace lorsque n varie. Pour obtenir son lieu géométrique, il suffit d'éliminer n entre les deux équations précédentes; or on arrive, de cette manière, à l'équation même

de la courbe centrale.

Par conséquent :

Théorème XII. — Si, relatwement à tout diamètre du premier ordre d'une courbe géométrique d'un degré quelconque, on prend le diamètre du premier ordre d'une direction arbitraire, mais fixe, on obtient des courbes convergentes entre elles (courbes pivotantes); et, si Von fait varier la direction fixe, le lieu géométrique des points de convergence (pivots) est précisément la courbe centrale relative à la courbe proposée ^

l8 LITRE I. — GHàPITEB IT.