Points hyperboliques et points paraboliques

Lorsque la direction d'un point à l'infini se présente comme racine simple de l'équation

la branche infinie correspondante est toujours hyperbolique, et nous donnons au point à l'infini lui-même le nom de point hyperbolique.

''Lorsque la direction du point à l'infini se présente comme racine multiple de l'équation

ce point appartient généralement à une branche parabolique, et quelquefois à plusieurs branches hyperboliques à asymptotes parallèles ou même coïncidentes. Dans tous les cas nous lui donnons la dénomination de point parabolique. Il peut, dans des cas très-rares, se présenter comme point isolé.

Les points paraboliques sont de véritables points singuliers situés à l'infini, et le coefficient angulaire de la tangente en un de ces points se présente sous forme indéterminée, en tant qu'on se borne à l'emploi des dérivées partielles du premier ordre de l'équation de la courbe.

On voit par là que les points hyperboliques existent généralement dans les courbes, tandis que les points paraboliques

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ne s'y trouvent qu'exceptionnellement lorsqu'il existe une équation de condition, ou plusieurs équations de condition, entre les coefficients de l'équation de la courbe.

Nous appliquerons les épilhètès â* hyperboliques et de paraboliques aux directions mêmes sur lesquelles se trouveront les deux espèces de points à l'infini dont nous venons de parler.