Des conjugués d'un groupe de points

Lorsque l'équation du degré p

nx) = o a donné naissance à l'équation du degré {p — i)

/(0(^) = (^ — a)/'(:r ) — /?/( jr) = o

qui représente les conjugués du point a, le système de points déterminés par cette dernière équation peut donner naissance aux conjugués d'un point (î, déterminés par l'équation du degré (/>— 2)

Relativement au système de points représentés par cette nouvelle équation, prenons les conjugués d'un point y, nous aurons l'équation du degré (p — 3)

fi,)[x) = [x — y)f{^^{x) — {p — i)f^i){x).

On peut continuer ainsi, en considérant successivement les abscisses a, (3, y,. . ., X d'un groupe de n points pris sur la droite, et on arrive à une équation du degré (p-— n)

laquelle représente un système de (p — n) points que nous appellerons les conjugués du groupe considéré. L'équation

se développe sous la forme suivante :

PEOPRIÉTÉS d'un SYSTftaE DE POIHTB-^RACINES, ETC. 27

Elle est symétrique en a et ^. Si donc, au lieu de prendre d'abord les conjugués de a et ensuite les conjugués de (3, on avait fait rinrerse, le résultat algébrique aurait été le même.

Cette observation se généralise aisément et Ton arrive à la loi suivante :

Théorème XIV. — Si Von a à prendre successivement les conjugués de n points y relativement à un système de points quelconques, en nombre supérieur à n, l'ordre suivi dans les opérations sera sans influence sur le résultat.

Par conséquent, les conjugués d'un groupe de n points sont entièrement indépendants de Tordre dans lequel on considère les points de ce groupe. Le groupe de points peut simplement être donné comme Tensemble des points-racines d'une équation algébrique

5. Forme développée de l'équation aux conjugués d*un groupe de n points,

La loi de formation que nous avons indiquée au numéro précédent pour les fonctions successives /( ,) {x), /(,> (x), ,.., permet d'obtenir ces fonctions sous des formes développées, en ne faisant usage que de lafonction/(j7) et de ses dérivées successives.

En effectuant les calculs et en faisant les réductions qui se présentent, on trouve successivement :

fo)(x)z={x—a)f{x)—pf{x),

M^)=(x-a)(x-^)ix-y)f-(xy-{p-2)

i^—cc] -t-(a:— (3)