H- (/> — !)(/> —2) (X — OC
fW
La loi de formation est évidente, et l'on peut poser la forimile
Ma:) = 2](- 0'Cr'-"Pia^,/("-'>{^),
dans laquelle ^ indique une sommation pour les valeurs entières successives de zéro à n, attribuées à Tindice t; C^"*"'"" indique le nombre des combinaisons que Ton peut
faire avec (/? -h / — n) objets pris ^ à ^; C^"*"'~" = i ;
P, indique le nombre des permutations que Ton peut faire avec t objets; Po = i;
Sn^t indique la somme des produits (n— t) à (/i— /) des facteurs binômes [x — a), (^—(3),..., (x — 1), correspondant au groupe de points; S«== i;
y('»-0(^) indique la dérivée de Tordre (/i— ^) de/(a;).
Si le groupe donné se compose des points-racines d'une équation
du degré n, on démontre aisément que
p,S;^, = efo(^),
en supposant que le terme en a:", dans 6{x), ait pour coefficient Tunilé (*).
La valeur de f{n)[x) peut alors être mise sous la forme
fin){x) = ^(-iYÇ.^'-\Qi^x)fi^-%x);
et bien que le produit 0('^(^ )/("-') (^), correspondant à un terme quelconque du deuxième membre, soit du degré p en X, le polynôme f(n){x) n'est cependant que du degré (p — /i), comme il résulte de ce qui a été dit au n® 4.
6. Conjugués des différents ordres d'un même point. Nous appellerons conjugués de l'ordre n{**) (n<:^p) d'un
{*) Fb/rNote in, à la fin du volume.
(**) Ces points ont été étudiés, sous le nom de centres harmoniques, et à un autre point de vue, par M. de Jonquières. Foi'r Mémoire sur la Théorie des pôles et polaires, etc. {Journal de M, Liouville^ août 1857).
PROPRIÉTÉS d'un système DE POINTS-RACINES, ETC. 29
point, les conjugués d'un groupe composé de n points identiques avec le point que Ton considère.
L'équation
représentant toujours le système des points donnés, nous représenterons par
l'équation aux conjugués de l'ordre n. *
Soit a l'abscisse du point auquel ces conjugués se rapportent ; le groupe de n points, dont nous avons parlé ci-dessus, se composera du point-racine multiple de l'équation
(x — ay = o,
et l'expression développée de /«(^), déduite de la formule trouvée au n® 5, sera
/»(^)=2;"(-')'cr'-c:p,/("-')(x)(x-«)-'.
Celte formule donne successivement
f,[x)=[x-oirf'"{x)-Z{p-:t){x-oLyr[x)
^Z{p—i){p^i){x—oL)f'{x)^p{p-i)[p-i)f(x).
Dans l'expression de fn[x) on peut, sans changer les limites au signe 2, remplacer l'indice / par n-— t. On ne fait ainsi qu'intervertir l'ordre des termes, et l'on a
/.(^)=2V>)'-'cc::c;,p.-,(*-a)'/(')(x).
D'ailleurs
nous pouvons donc écrire
3o LITRE II. — CHAPITRE I.
C'est de celle dernière formule que nous ferons usage dans ce qui va suivre.
7. Autre forme de l* équation aux points conjugués de l'ordre n.
On peut donner à Téqualion aux points conjugués de Tordre n une forme très-différente de celle que nous venons de faire connaître.
Remarquons en effet que le polynôme /'«(^), étant du degré {p — n) en ^, peut être mis sous la forme
9, désignant un polynôme entier et rationnel en a, variable d'un terme à Fautre, et qu'il s'agit de déterminer. fn(^) est lié bifn^i(x) par la relation fondamentale
fn{x) = {x-a)f:^^^{x)^{p-n + i)fn^,{x),
d'où l'on déduit, par t dérivations successives,
l^'\x) = (x-a)f^:'\a,)-{p-n-t + x)fj:\(x).
En faisant :r = a dans cette formule, on trouve d'où l'on tire
ou, plus simplement.
D'autre part, l'équation aux fonctions 9 donne, sans difficulté,
PROPRIÉTÉS d'un système DE POINTS-RACINES , ETC. 3l
£n égalant le second membre de celte équation avec celui de la précédente, on a
et par suite
f,{x) = Pn^'i- 1 r-'cr' j, (« - ^yp" (*)•
On peut remplacer ( — i )""' par ( — i y ( — i )'*""*"', et l'on trouve déûnitivement
