Points harmoniques

D'après ce que nous ayons vu au n° 7, l'équation au point conjugué de Tordre (/> — i) peut se mettre sous la forme linéaire

{a-^x)f{a)-pf{a)=o.

Le point unique déterminé par cette équation n'est autre que l'harmonique du point S dont l'abscisse est a, relativement au système donné.

11 y a d'ailleurs d'autres points que S qui admettent pour harmonique le point dont il s'agit; ce sont précisément les conjugués du premier ordre de ce dernier point.

PROPRIÉTÉS d'un système DE POINTS-RACINES» ETC. 33

Un point et ses conjugués du premier ordre, ou, en d'autres termes, une série de points, en nombre égal à p — i, et leur harmonique commun, constituent deux groupes associés.

1 1 . Proprié témperspective .

Considérons la figure formée par le système des points donnés, un autre point S et les conjugués de ce point. Cette figure se définit analytiquement :

1° Par réquation

relative aux points donnés; 2° Par Tabscisse a du point S; 3® Par réquation

relative aux conjugués du point S.

Sur une droite quelconque, nous formerons une nouvelle figure déduite de la précédente au moyen d'une transformalion telle, que la nouvelle abscisse y d'un point soit liée à Tabscisse x du point correspondant par la relation

flj-hft

^ = — — rf'

dans laquelle a, 6, c, d sont des constantes.

Une telle transformation peut être assimilée, géométriquement, à une transformation perspective.

Voyons maintenant quelle sera l'expression analytique de la nouvelle figure.

Pour trouver l'équation aux transformés des points donnés, ramenée à la forme entière, il suffit de poser

el d'égaler à zéro le numérateur du second membre, ce qui

donne l'équation

La nouvelle abscisse (3 du transformé du poinl S est déterminée

par la relation

Reste à transformer l'équation , aux points conjugués; or on a

iad — bc} (r— [3) ^ "^^ (crH-rf)(c(5H-rf)'

^ W nJ—h^

ad — bc (cy — rf)''"'

Par la substitution de ces valeurs, Téquation aux points conjugués donne, réductions faites, pour sa transformée,

C'est précisément l'équation par laquelle on déterminerait les conjugués du transformé de S, relativement aux transformés des points donnés.

Donc :

Théorème XVI. — Un système de points en ligne droite, un autre point et ses conjugués relatifs au système donné, forment une figure qui donne, par la transformation perspective, une figure de même nature.

Ce théorème s'étend évidemment à la figure formée par un système donné, un groupe de points et les conjugués de ce groupe, et aussi à la figure formée par un système donné et par deux groupes associés.

Nous terminerons ce chapitre en passant en revue quelques cas particuliers.