Méthode de généralisation

La théorie des pôles et des polaires peut être étendue aux courbes algébriques de tous les degrés.

Considérons une courbe géométrique du degré p et un point fixe situé dans son plan. On peut, sur une sécante quelconque, issue du point donné, prendre les conjugués d'ordre n de ce dernier relativement aux points d'intersection de la sécante et de la courbe. On détermine ainsi une ligne, lieu

géométrique des conjugués du point fixe, que nous appellerons la polaire d'ordre n de ce point (*).

La lettre n pouvant prendre toutes les valeurs entières, de I à [p — i), on voit qu'une courbe du degré p donne naissance k p — I espèce^ de polaires.

On pressent d'ailleurs que le degré de la polaire de Tordre n doit être égal k p — n, puisque cette courbe est coupée en p — n points par les sécantes issues du point fixe.

Parmi ces polaires, la première, de Tordre i, et la dernière, de Tordre p — i, sont les seules qu'il importe de considérer quand p est égal à 2, c'est-à-dire quand la courbe donnée est une section conique. Dans ce cas elles coïncident avec la polaire qui a été définie au n** 1 de ce chapitre.

Nous commencerons par étudier spécialement ces deux espèces de polaires auxquelles nous donnerons, dans ce qui va suivre, les noms de polaire conjuguée et de polaire harmonique.