Équation générale des polaires conjuguées. Soit
l'équation, entière et rationnelle d'une courbe algébrique du degré p, et soient oc, (3 les coordonnées du point dont on veut prendre la polaire conjuguée.
I/équation
dans laquelle X représente un paramètre variable, représentera la sécante mobile.
Pour une valeur quelconque de X, projetons sur Taxe des a:: les points d'intersection de la sécante et de la courbe, le point fixe et ses conjugués. Les coordonnées de ces derniers points seront déterminées par l'équation
(*) Les propriétés des polaires ont été étudiées d'abord par Bobillier (Théorèmes sur les polaires successives, Annales de Gergonnc; Nîmes, 1828-1829), puis, à un autre point de vue, par Grassmann (Théorie der Cen Iralen , Journal de Crelle ; Berlin , 1 842 ) .
et si nous éliminons X entre cette équation et celle de la droite mobile» nous aurons pour équation de la polaire conjuguée :
Cette courbe est du degré (p — i); le point (a, (3) est son pôle conjugué.
k. Des tangentes à la courbe donnée issues d'un point extérieur.
Proposons-nous de trouver sur la courbe donnée les points où aboutissent les tangentes issues du point dont les coordonnées sont a, |3.
Ces tangentes rentrent toutes dans la série des sécantes issues du point fixe, et chaque point de contact figure doublement parmi les points d'intersection de sa tangente avec la courbe. Donc, en vertu du théorème XVII, le point de contact appartient à la polaire du point P.
Par conséquent :
Théorème XX. — La polaire d'un point rencontre la courbe proposée aux points oà aboutissent les tangentes issues de ce point.
L'équation de la polaire est précisément celle qu'on rencontre, en géométrie analytique, lorsqu'on veut déterminer les pip — I ) points de contact de la courbe avec les tangentes Issues d'un point extérieur.
5. Équations générales aux pôles harmoniques. Au lieu de prendre sur la sécante mobile
j P = A(ar — a)
les conjuguées du point (a, P), prenons l'harmonique de' ce point. En projetant la figure sur l'axe des x, on trouvera
4o LIVRB II. — CHAPITRE II.
en éliminant X entre cette équation et celle de la sécante, on trouvera l'équation de la polaire harmonique
Cette équation linéaire» contenant deux paramètres a et (3, peut être regardée comme l'équation générale d'une droite du plan. La droite représentée par l'équation
« j; -+- fcj -h c = o
peut donc toujours être regardée comme la polaire harmonique de certains points du plan, dont les coordonnées ( a, P), réelles ou imaginaires, sont déterminées par les équations
Ces points, au nombre de {p — 1)% sont les pôles harmoniques de la droite.
6. Corrélation entre les pôles et les polaires conjugués et harmoniques.
Les considérations exposées aux n*"' 3 et 5 déterminent la polaire conjuguée d'un point et les pôles harmoniques d'une droite.
Supposons que le point (a, (3) décrive la droite définie par l'éqOation
la polaire conjuguée de ce point aura pour équation
Elle passe donc par tous les points dont les coordonnées ^,7 satisfont aux équations simultanées :
l dfjxyx) ^ 1 df(x,r) a dx b dy
Ces points sont précisément les pôles harmoniques de la droite.
Donc :
Théorème XXI. — Lorsquun point se meut sur une droite, la polaire conjuguée de ce point pis^ote autour des pôles harmoniques de cette droite.
Réciproquement :
Théorème XXII. — Lorsqu'une droite pivote autour d'un point, les pôles harmoniques de cette droite se meuvent sur la polaire conjuguée de ce point.
Ces théorèmes établissent une corrélation entre les pôles et les polaires, conjugués et harmoniques, relatifs à une courbe géométrique d'un degré quelconque. Lorsque la courbe est une conique, cette corrélation se traduit par les propriétés fondamentales que nous avons énoncées au commencement de ce chapitre; et comme, dans ce cas, la polaire conjuguée n^ diffère pas de la polaire harmonique, la corrélation prend un caractère de symétrie et devient véritablement réciproque.
