Polaires des différents ordres
Au lieu de prendre, sur la sécante issue du point (a, (3), les conjugués du premier ordre du point fixe, on peut prendre les conjuguées de Tordre n\ on détermine ainsi la polaire de V ordre n.
D'après la définition des points conjugués des différents ordres, la polaire de Tordre n d'un point, relativement à une courbe donnée, est la polaire conjuguée de ce point relativement à sa polaire de Tordre [n — i).
Il en résulte que toute polaire du second ordre doit être une courbe du degré (p — ^2); que toute polaire du troisième ordre doit être une courbe du degré [p — 3), et généralement que les polaires de Tordre n doivent être des courbes du degré (p — n), ainsi que nous l'avons entrevu au commencement de ce chapitre.
La polaire de Tordre (p — i) d'un point quelconque est une
ligne droite qui ne diffère pas de la polaire harmonique dont nous avons déjà parlé.
Soit toujours
réquation du degré p de la courbe donnée.
Désignons par (a, (3) les coordonnées du point dont on veut prendre la polaire d'ordre n.
L'équation de la sécante mobile passant par ce point peut être mise sous la forme
Pour une valeur quelconque de X, projetons sur Taxe des x les points d'intersection de la sécante et de la courbe, le point fixe et ses conjugués de Tordre n. En vertu de la propriété projective démontrée plus haut, nous déterminerons les abscisses des points conjugués de Tordre n, par Téquation
• dans laquelle j doit être regardé comme une fonction de x déterminée par Téquation même de la sécante. Le premier membre de Téquation ci-dessus est donc en réalité une fonction de ^ et de X indépendante de y.
L'élimination de X entre cette équation et celle de la sécante mobile conduira à Téquation de la polaire de Tordre n du point (a, (3).
Nous pouvons dès à présent faire une remarque importante. Les opérations qui conduiront à Téquation de la polaire d'ordre n du point (a, P), x ex y étant regardés comme les coordonnées courantes, conduiraient à Téquation de la polaire d'ordre p — w du point (;r, j), si a et (3 étaient considérées comme coordonnées courantes. Cela résulte de la propriété caractéristique des groupes associés.
Par conséquent :
Les équations générales des polaires d'ordres complémentaires , net p — /i, se déduisent l'une de l'autre par une simple permutation faite entre les coordonnées courantes et les coordonnées fixes.
Si donc réquation générale des polaires de Tordre n esi représentée par
l'équation générale des polaires de Tordre (p — n) sera représentée par
et si Ton désigne par
réquation générale des polaires de Tordre p — n, Téquation générale des polaires de Tordre n sera représentée par
On peut effectuer assez facilement Télimination de X, cidessus indiquée (*), et Ton trouve pour Téquation de la polaire d'ordre n
Dans cette formule, la sommation indiquée par un des signes V
se rapporte à la lettre écrite transversalement dans l'intérieur de ce signe.
8. Conditions pour qu* une équation entre x et y, du degré p — n, représente une polaire de l* ordre n.
L'équation générale de la polaire de Tordre n, étant du degré p — /i en a; et j, peut être mise sous la forme
A, B, C, et généralement K,,,-,, étant exprimables par des polynômes du /i'**' degré en a et (3, de formes déterminées. Celle équation ne représente pas une courbe quelconque du degré p — n, car il existe entre ses coefficients des relations telles, qu'ils sont tous fonctions de trois quelconques d'entre eux.
(*) f^oir Note IV, à la* fin du volume.
K - K,,,, est une fonction de A, B, C, ou plutôt ''' * est une
fonction de ^ et de ^- La nature de cette fonction varie
quand les indices 5 et ^ changent, et sa détermination exigerait des calculs très-laborieux. Sans doute la forme de cette fonction ne peut pas être représentée explicitement, mais il est évident que la fonction existe.
L'expression générale de K,.,-^ en fonction de A, B, C, représenterait les conditions nécessaires et suffisantes pour que réquation ci-dessus soit celle d'une polaire de Tordre n,
