Pôles des différents ordres

La forme précédente de l'équation générale de la polaire de l'ordre n ne contenant pas explicitement les coordonnées des points qui peuvent être regardés comme pôles de l'ordre n correspondants, on peut se proposer de déterminer les coordonnées de ces points.

Si a et [3 représentent ces coordonnées, il résulte des formules posées au n° 7 qu'elles doivent satisfaire aux équations simultanées

(i)/>-'>rf/>-»/(a, (3) — (— i)p-»rfp-"/(a,p)

Ces équations sont entières et du degré n en a et (3 ; leur résolution donnerait n^ systèmes de valeurs de a et de p, d'où l'on conclut que le nombre des pôles est égal à /l^

10. Conditions pour quun groupe de n^ points soit composé de pôles de V ordre n.

Un groupe de n^ points ne représente pas,, en général, des pôles de l'ordre n. Pour qu'il soit composé de pôles, il faut et

(*) Voir Note V, à la fin du volume.

il suffit que les coordonnées a/ p de l'un quelconque de ses points satisfassent aux équations simultanées

dans lesquelles /tx et v représentent deux parannètres arbitraires. Par ces équations, un point quelconque du groupe détermine tous les autres.

11. Corrélation des pôles et des polaires de tous les ordres.

Si Ton représente par

l'équation de la polaire de Tordre n du point (a, (3), Téquaiion de la polaire de l'ordre p — n du point (^,7) peut être mise sous la forme

X et Y désignant les coordonnées courantes.

Pour les valeurs de j: et de j qui satisfont à la première de ces deux équations, la seconde est vérifiée par X=a et Y = p. a et p peuvent être regardées comme les coordonnées de l'un quelconque des pôles de la courbe représentée par la première équation. Donc :

Théorème XXIII. — Lorsqu'un groupe de pôles de tordre (p — n) se meuvent sur une polaire de l'ordre n, leur polaire commune pivote autour des pôles de leur trajectoire (*).

(*) BoBiLLiER; Théorèmes sur les polaires successives [Annales de GergonnCy t. XIX; Nîmes, 1828- 1829).

Réciproquement :

Théorème XXIV. — Lorsqu* une polaire de l'ordre (p — n) pivote autour d'un groupe de pôles de l'ordre n, les pôles de cette courbe engendrent la polaire commune de ses pivots.

Ces théorèmes généraux contiennent, comme cas particuliers, les théorèmes XXI et XXII.

12. Nouvelle forme de V équation générale des polaires de r ordre n.

Considérons l*équalion

dans laquelle nous regarderons a et (3 comme les coordonnées courantes ; X, /ui, v sont trois constantes arbitraires.

Cette équation du degré n représente un faisceau de courbes pivotantes autour du groupe des pôles de Tordre », au nombre de /iS déterminés par les équations générales du n** 10. C'est l'équation générale des courbes du degré n qui peuvent passer par ce groupe de points, c'est-à-dire qu'elle peut représenter une quelconque de ces courbes. En effet, si une courbe du /i'*'"* degré passe par le groupe de pôles dont il s'agit, on peut toujours déterminer la constante arbitraire X de manière à faire passer une des courbes du faisceau par un point différent du groupe des pôles et situé sur la courbe considérée. On a ainsi deux courbes du /i'*'"' degré, qui ont (w'-h i) points communs, et qui, par conséquent, coïncident dans toute leur étendue.

On voit ainsi que l'équation ci-dëssus est l'équation générale des polaires de l'ordre*», mise sous une forme qui ne contient pas explicitement l'expression d'un pôle de la courbe.

En résumé, l'équation générale des polaires de l'ordre n

peut êire mise sous les trois formes suivantes :

Dans les deux premières, a, (3 sont les coordonnées d'un quelconque des pôles de la courbe; dans la seconde, X et (/x + Xv) sont deux constantes arbitraires. Ces équations comportent toutes le même degré de généralité.