Polaire d'un groupe de n points

Lorsque l'équation /(a;, 7) = o, du degré p, a donné naissance à réquation du degré {p — i)

y. (^,r ) = (^ - «)/; -H (r- p )/; -pf= o,

qui représente la polaire conjuguée du point (a, j3), cette courbe peut à son tour donner naissance à la polaire conjuguée d'un point (y, ô), laquelle aura pour équation du degré (p — 2),

En continuant ainsi, et en considérant successivement les divers points d'un groupe de n points, on arriverait à une équation du degré (p — n), qui représenterait \a polaire d'un groupe de n points,

L'équation/i (^, j) = o se développe sous la forme suivante :

+ (r-(3)rr-ô)/;, -(p-0i[(^~a)-h(^-y)]/;-h[(r-(3)-h(r-ô)]/;}

Elle ne change pas p^r la permutation des lettres a et y, p et <5. Si donc , au lieu de prendre d'abord la polaire conjuguée de (a, (3) et ensuite celle de (y, 3), on avait fait Tinverse, l'équation obtenue n'aurait pas changé.

Cette observation se généralise aisément, et l'on arrive à ce théorème :

Théorème XXV. — Si l'on a à prendre successivement les polaires conjuguées d'un groupe de n points, en partant dune courbe donnée, d'un degré supérieur à n, l'ordre suivi dans les opérations sera sans influence sur la courbe obtenue.

\k. Polaires des différents ordres d'un point de la courbe

donnée.

Si un point S, dont on veut déterminer la polaire de l'ordre n, est situé sur la courbe donnée, la tangente en ce point est une transversale sur laquelle le point de contact figure doublement parmi ses propres conjugués du n'*"* ordre.

Donc :

Théorème XXVI. — La polaire de l'ordre n d'un pbint de la courbe touche en ce point la courbe donnée.

La tangente en un point de la courbe donnée ne diffère pas de la polaire harmonique de ce point.

Car, lorsque le point (a, P) est situé sur la courbe dont l'équation est

du degré p, Téquation de la polaire harmonique de ce point se réduit à

C'est précisément l'équation de la tangente à la courbe.

15. Polaires des différents ordres des points d'inflexion et des points singuliers.

Si le point S coïncide avec un point d'inflexion d'ordre quelconque, ou avec un point singulier d'ordre quelconque de la

courbe donnée, on voit, en raisonnant comme ci-dessus, qu'il sera un point d'inflexion ou un point singulier, du même ordre, sur chacune de ses propres polaires.

Donc:

Théorème XXVII. — Un point d* inflexion, ou un point sin^ gulier, d'ordre quelconque de la courbe donnée, est un point de même espèce, du même ordre, sur chacune de ses propres polaires,