Nouvelle définition de la courbe centrale

En considérant en particulier les polaires d'ordre {p — 2), lesquelles sont des courbes du second degré, on peut arriver à une nouvelle définition de la courbe centrale.

Soient (a, P) les coordonnées d'un pôle; la polaire conique correspondante a pour équation :

en désignant par la lettre /ce que devient le polynôme/{ j:, j) lorsqu'on y remplace x et x par « et (3.

POLES ET POLAIRES. 5l

La conique représeniée par cette équation deTîent une pa* rabole lorsqu'on a

Par conséquent :

Théorème XXXI bis. — La courbe centrale est le lieu géomé^ trique des points dont les polaires coniques sont des paraboles,

2t. Courbe Hessienne.

Conservant les notations précédentes, désignons par x, et /, les coordonnées du centre de la polaire conique du pointa, p; ces coordonnées satisfont aux deux équations :

Pour que la polaire conique se décompose en un système de deux droites, il faut et il suffit que son centre lui appartienne. Dans cette hypothèse, ce centre constituera un point singulier de la polaire conique; donc, en vertu du théorème XXIX, il appartiendra à la polaire harmonique du point (a, (3), et Ton aura

(«^.)/^-H(P-r.)/; -pf=o.

Éliminant Xt et j, entre cette équation et les deux précédentes, nous aurons

pour équation du lieu géométrique des points dont les polaires coniques se décomposent en deux droites. Cette courbe est la Hessienne de la courbe donnée (*).

L'équation de cette courbe est en apparence de degré(3p— 4)^ mais elle n'est en réalité que du degré 3(/? — a), parce que les

(*) Voir Introduzione ad una Teoria geometrica délie Ciirve pianc, pel Luigi Cremona; Bologne, 1862.