Propriété d* un faisceau pivotant quelconque

Considérons un faisceau pivotant du /?'*"' degré défini par l'équation

dans laquelle 9 et 9, sont des fonctions algébriques entières et rationnelles du p**^ degré en x et j; X désigne un paramètre arbitraire.

Les équations

représentent deux courbes particulières du faisceau.

Cela posé, soient a et (3 les coordonnées d'un point S du plan; les polaires d'ordre quelconque n<^p Ae ce point, relativement aux deux courbes particulières du faisceau, se-

COURBES PIVOTANTES. 6l

ronl représentées par des équations du degré (p — n),

En se reportant à Téqualion générale des polaires de Tordre n, trouvée au n° 7 du chapitre II, on voit que l'équation

est celle des polaires de Tordre n du point S relativement aux courbes pivotantes.

Ces polaires passent donc toutes par les points dont les coordonnées vérifient les équations simultanées

De là ce théorème :

Théorème XLII. — Les polaires d'ordre quelconque d'un point du plan, relativement aux diverses courbes d'un faisceau pivotanty forment elles-mêmes un faisceau pivotant,