CHAPITRE PREMIER

PROPRIÉTÉS DTN SYSTÈME DE DROITES CONVERGENTES. - DROITES CONJUGUÉES ET DROITES HARM(»iIQUES.

1. Définitions géométrique et analytique des droites conjuguées.

Étant donné un système de p droites convergentes, nous appellerons conjuguées d'une droite passant par le point de convergence, les droites issues de ce point et telles, que le produit des sinus des angles que forme l'une quelconque d'entre elles avec les droites du système, divisé par la puissance /?'*'"• du sinus de l'angle qu'elle forme avec la droite donnée^ conduise à un quotient maximum ou minimum.

Si Ton désigne par X,, X,,. . . , X^, les angles formés par les droites du système donné avec une droite origine, passant parle point de convergence, par A l'angle formé par la droite donnée avec cette droite origine, et par X l'angle formé par l'une quelconque des droites conjuguées avec la même droite origine, on peut écrire, d'après la définition ci-dessus,

sin(X — X,)sin(X — X,)...sin(X~Xp) r-— TV T\ ^ = nï2ix. OU mm.

sm''(X — A)

Posons

ij7, ==langX,, j;j=langX„.. ., j;^ = iangX^, a = langA, a: = langX.

Nous aurons:

sin(X— X,)=sinXcosX, — sinX,cosX = cosXcosX,(a7 — ^,), sin(X — Xj) = sinXcosX, — sinX,cosX = cosXcosX2(^— a:,),

sin{X — X;,)=sinXcosX^ — sinXpCOsX=:cosXcosX^(^ — scp), sin( X — A )= sinX cos A — sin A cosX = cosXcos A(^ — A),

et Téqualion qui détermine les droites conjuguées pourra être mise sous la forme

cos"*XcosXiCOsX2...cosX„(^ — xAia: — a:2).,Ax — Xp)

-^ — ^^1— i^— '- — i ^==max. ou mm.

cos'"Xcos"A(^— û)p

ouy plus simplement, sous la forme

(x Xi)(x — Xi). . Jx —Xp) . . .

^ ^-^ — ^ ^ = maximum ou minimum.

(x — af

Les constantes a:,, ar,. . . , Xp peuvent être les racines d'une équation du degré p,

f(x) = AiXP-hAiXP-^-i-. ..-+-A^,:r:+ A^=o.

On a alors

{x — Xi)(x — X2). . .{x — :r^)='i^, et réquation aux droites conjuguées peut s'écrire

Ao{x — (x)P ou encore

maximum ou minimum,

dx {x — oc)P '

ou enfin

{x — a)f(x) — pf(x) = o.