Cas où deux ou plusieurs des points donnés coïncident

Si Ton suppose que n des points donnés, par exemple M., M2, . . . ,M„, viennent à se confondre en un seul, leur abscisse commune

jp, = or, = . . . = ^„

étant racine, au degré n de multiplicité, de Téquation

sera racine, au degré (/i — i) de multiplicité, de Téquation dérivée

De là ce théorème :

Théorème II. — Tout point multiple de l'ordre n parmi les points donnés est un point multiple de V ordre (n^ — i) parmi les points centraux.

5. Cas OÙ deux ou plusieurs des points donnés sont à Vinfini,

En rapprochant ce théorème du précédent, on arrive, sans démonstration nouvelle, au théorème suivant, qui est la généralisation du théorème I.

Théorème III. — Tout point à l'injiniy du degré n de multi^ plicité, parmi les points donnés, est un point central au même degré de multiplicité. Les autres points centraux du système sont précisément ceux du système qu'on obtient en supprimant, parmi les points donnés, le point multiple à l'infini.

•6. Cas où les points donnés ont un centre de symétrie.

Supposons maintenant que les points donnés aient un centre de symétrie. S'ils sont en nombre pair, ils pourront être rangés en couples à milieu commun, et, si Ton prend ce milieu pour origine, il n'y aura que des tel-mes de degrés pairs dans l'équation

Il en résulte que l'équation dérivée

n'aura que des termes de degrés impairs.

L'origine sera donc un point central, et les autres points centraux pourront être rangés en couples admettant ce point pour milieu commun.

Si les points donnés sont en nombre impair, et si Ton prend pour origine le centre de symétrie, l'équation

n'aura que des termes de degrés impairs, et l'équation dérivée

n'aura que des termes de degrés pairs. Les points centraux pourront donc être rangés en couples admettant l'origine pour milieu commun.

DES POINTS GENTRAl^X d'uN SYSTÈME DE POINTS-RACINES. 5

Par conséquent r

Théorème IV. — Si les points donnés admettent un centre de symétrie, ce point est aussi un centre de symétrie parmi les points centraux du système,

£n particulier, quand les points donnés se réduisent à deux, leur point central unique ne diffère pas de leur point milieu.