Formule générale du principe de dualité

Étant donné un système quelconque d'équations établies entre des coordonnées variables x et j, des coordonnées fixes

^) Plucker, Théorie (1er algebraischen Curven, 1889.

PRINCIPE DE DUALITÉ. 8l

(a, P), («j, PO»--*» en aussi grand nombre qu'on voudra, et des paramètres arbitraires >, fx, v, . . . , en nombre quelconque, ce système représentera :

En géométrie cartésienne, une figure composée de lignes et de points) fixes ou variables suivant des lois déterminées ;

En géométrie taiigentielle, une figure composée de lignes et de droites, fixes ou variables suivant des lois déterminées.

Occupons-nous de la première de ces figures.

La liaison intime qui existe entre elle et le système d'équations correspondant peut être étudiée sous trois points de vue différents.

D'abord on peut établir une comparaison entre les propriétés particulières ou générales du système d'équations et les propriétés correspondantes de la figure, et traduire les observations, auxquelles on est conduit, par des théorèmes qui mentionnent et des circonstances géométriques, se rapportant à la figure^ et des circonstances analytiques, se rapportant au système d'équations.

Ces théorèmes appartiennent à la géométrie analytique proprement dite.

Exemple. — La tangente de l'angle formé par la tangente en un point d'une courbe açec Vàxe des x est représentée par la dérivée de l'ordonnée en ce point, prise relativement à l'abscisse correspondante , dans l'équation cartésienne de la courbe.

En second lieu, on peut étudier, sur le système d'équations, certaines propriétés analytiques auxquelles correspondent des propriétés de la figure, qui peuvent être formulées en théorèmes ne mentionnant explicitement que des circonstances géométriques. Ces théorèmes sont du domaine de la géométrie pure.

Exemples. — i° Lorsqu*un hexagone est inscrit dans une coniquCy les couples de côtés opposés quelconques se coupent sur une même droite. (Théorème de Pascal.)

2° Siy par im point du plan, on mène deux transversales parallèles à deux axes fixes y les produits des segments réels ou imaginaires, formés sur ces deux droites entre le point et

une courbe géométrique, ont un rapport constant quel que soit ce point. (Théorème de Newton.)

Enfin, on peut inversement étudier sur la figure certaines propriétés géométriques auxquelles correspondent des propriétés du système d'équations, qui peuvent être formulées en théorèmes ne mentionnant explicitement que des circonstances relatives à ces équations. On a ainsi des théorèmes d*algèbre.

Les applications de celte méthode sont rares; nous n'en citerons pas d'exemple.

Supposons qu'à la première figure on substitue la seconde.

Les propriétés d'équations qui ont conduit à des théorèmes de géométrie analytique ou de géométrie pure concernant la première figure conduiront à des théorèmes correspondants concernant la deuxième.

Par conséquent :

En géométrie analytique, à tout théorème cartésien correspond un théorème tangentiel; et réciproquement, à toutthéorème tangentiel correspond un théorème cartésien.

Ce principe exprime la dualité de deux méthodes réellement distinctes bien qu'elles procèdent par des moyens analogues: c'est la corrélation enire \£i géométrie cartésienne et la géométrie langenlielle,

En géométrie pure, les théorèmes analogues ou corrélatifs ne se rapportent plus à deux méthodes distinctes, mais à des propriétés mêmes de l'étendue. Là est la véritable dualité géométrique, qui peut être définie en ces termes :

J toute propriété de V étendue en correspond une corrélative.