CHAPITRE PREMIER

Les polygones sont déterminés, soit par leurs côtés, soit par leurs sommets; on peut donc les considérer, soit comme des systèmes de droites non convergentes, soit comme des systèmes de points non en ligne droite. Sous le premier point de vue, ils constituent des courbes géométriques particulières, d'un degré égal au nombre des côtés; sous le second, ils constituent des courbes géométriques particulières, d'une classe égale au nombre des sommets.

Nous étudierons d'abord les polygones sous ces deux points . de vue, et nous passerons de là à Tétude des courbes géométriques en général.

§ I. — Polygones définis par leurs côtés.

1 . Polaires cartésiennes d'un point y relativement à un système de p droites.

Un système de p droites constituant une courbe algébrique du degré p donne naissance à des polaires cartésiennes des

(*) Les centres des moyennes harmoniques ont été l'objet d'un beau Mémoire de M. Poncelet, qui a fait connaître leurs principales propriétés. (Voir Journal de Creile, t. III, année 1828. )

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ordres i, 2,..., (p — 2), [p — i), et des degrés [p — i), (p — 2j,..., 2, 1, d*un point quelconque du plan.

Ces polaires sont généralement des lignes courbes et ne se ré'duisent à des systèmes de droites que dans certains cas particuliers, C'est-à-dire pour certaines positions particulières des pôles.

Toute droite du système entre dans la polaire d'ordre quelconque de chacun de ses points, en sorte que la polaire d'ordre n d'un point pris sur une des droites données se compose de cette droite et d'une courbe compagne du degré [p — n — i). Les polaires des ordres i et p — i présentent des propriétés remarquables que nous allons étudier.

â. Polaires du premier ordre.

Le système de droites étant considéré comme une tourbe géométrique, tout sommet du polygone, c'est-à-dire tout point d'intersection de deux droites du système, joue dans cette courbe le rôle d'un point singulier. Donc :

Toute polaire cartésienne du premier ordre passe par tous les sommets du polygone.

Le nombre de ces sommets est égal à £-^-2 ^5 comme,

d'ailleurs, les polaires du premier ordre des différents points d'une droite doivent pivoter autour des pôles harmoniques de cette droite, lesquels sont au nombre de(p — OS^*^ voit que :

Les pôles harmoniques d'une droite se composent des sommets du polygone et d'un groupe de ^^ '-^ points.

On distingue donc dans le système des pôles harmoniques d'une droite deux groupes de points distincts, dont l'un, composé des sommets du polygone, esl indépendant de la droite et ne la caractérise en rien, tandis que le second varie quand cette droite se déplace, et constitue ses pôles harmoniques caractéristiques.

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