Propriétés analytiques
L'équation algébrique du degré p qui représente le système de droites donné peut être mise sous la forme
/(^,j)=(a,a:-Hfri7-hc,)(aa^-h6a7-hc,)...(^/,^-hft/,j-h6'^)=o.
L'équaiion
de la polaire du premier ordre du point (a, j3) devient alors
«1 a -H 61 (3 4- c, a-j a -h 62(34-^2 apOL-^bp^.-\-Cp
UxX-^bxy-^-Cx aiX-\-b>y-hCi '"* apX-^bpy-^-Cp '
et l'équation de la polaire harmonique du même point prend la forme
rt,a-i-6,(3-hCj «ja-t-tj^-f-Cî '*' apa-\-bpi^-JrCp
Par conséquent, si ^,, ^a,. . ., ô^ représentent les dislances du point {x^y) aux droite^ du système donné, et si rf,, rfj,..., dp représentent les distances du point (a, (3) à ces mêmes droites, on a la relation
laquelle existe pour chaque point [Xy y) de la polaire harmonique.
De là ce théorème :
Théorème LVI. — Les distances de chaque point d*un axe des moyennes harmoniques d'un système de droites^ aux di~ verses droites de ce système, ont entre elles une relation linéaire homogène.
D'autre part, si Ton désigne par p, , pa,..., pp \qs inverses des distances du point (^, y) de la polaire du premier ordre du point (a, (3) aux droites du système donné, on a la relation
rfi pi -H ^/a pt -4-. . . + û?p P;, = o
pour chaque point de la polaire. De là ce théorème :
Théorème LVIL — Les inverses des distances de chaque point d^une polaire du premier ordre, relative à un système de droites, aux diverses droites de ce système, ont entre elles une relation linéaire homogène.
(*) Le rapport -^ doit être regardé comme positif ou comme négatif, « suivant que les points (x, y) et (a, {6) sont situés d'un même côté de la polaire harmonique ou de part et d'autre de celte droite. Une observation analogue s'applique à la formule suivante en r/„p„.
Une droite quelconque du plan pouvant toujours être regardée comme un axe des moyennes harmoniques d'un système quelconque de droites non convergentes, le théorème LVI exprime une propriété générale de la droite, laquelle peut s'énoncer ainsi ;
Les distances de chaque point d'une droite à plusieurs axes Jixes non convergents ont entre elles une relation linéaire homogène (*).
Dans cette relation trois paramètres seulement sont arbitraires; si Ton se donne ces trois paramètres, a et (3, et par suite tous les autres paramètres de Téquation, se trouvent déterminés.
