Propriété mécanique

Reprenons le système de droites A,, Aa, . . ., A^, le point X et Taxe des moyennes harmoniques C du système relativement à ce point.

Nous pouvons regarder les droites données comme des forces <p,, cpi,..., <py, inversement proportionnelles aux distances de ces droites au point X. Si Ton désigne par â, , ôa,..., àp les distances de ces mêmes droites à un point quelconque I de la droite C, on aura

Cette relation exprime que la somme des moments des forces relativement au point I est nulle.

Elle a lieu quelle que soit la position du point I sur la

(* ) Cette propriété de la droite est énoncée par M. Chasles, à la page Sac de la Géométrie supérieure. Les chapitres XXI et XXII de ce même ouvrage contiennent plusieurs théorèmes que nous retrouverons dans le paragraphe suivant.

(**) La force <p„ doit être dirigée sur la droite A„, de manière que le moment de cette force, relativement au point X, soit positif si 1 et X sont d'un môme côté de A„, ou négatif si 1 et X sont situés de part et d'autre de A„ .

go LIVRE IV. — CHAPITRE I.

droite C; par conséquent celle droite représente en position la résultante des forces considérées. De là ce théorème :

Théorème LVllI. — Uaxe des moyennes harmoniques d'un système de droites relatif à un point coïncide^ en position, avec la résultante de ces mêmes droites considérées comme des forces d'intensités inversenwent proportionnelles à leurs distances à ce point.

Si Ton suppose que X aille à l'infini, dans une direction quelconque, on arrive à celte conséquence :

Théorème LIX. — L'axe des moyennes harmoniques d'un système de droites, relativement à un point à l' infini, coïncide en position avec la résultante de ces mêmes droites, considérées comme des forces d'intensités inversement proportionnelles au sinus des angles que font leurs directions avec, celle du point à l'infini.