Théorème relatif au triangle

Pour faire une application de la théorie précédente, nous démontrerons une propriété connue du triangle.

Étant donné un triangle ABC et une droite X, les polaires du premier ordre de tous les points de cette droite sont des coniques passant par les trois sommets du triangle et par un quatrième point P dépendant de la droite.

Considérons en particulier le point a où X rencontre le côté BC.

La polaire de ce point se compose de deux droites, savoir : le côté BC du triangle, et la droite qui joint le sommet A au conjugué harmonique de a relativement à ^G.

Cette seconde droite doit nécessairement passer par P. De là ce théorème :

Théorème LX. — Si dans le plan d'un triangle on mène une transversale quelconque, et si sur chaque côté on prend le conjugué harmonique de son point de rencontre avec la transversale, relativement aux deux sommets adjacents, les droites qui joindront les trois points ainsi déterminés aux sommets respectivement opposés passeront par un même point.

AXES ET GElfTBBS DBS MOYENNES HARMONIQUES. 9I

§ IL — Polygones définis par leurs sommets.

7. Pôles tangent iels d'une droite relativement à un système de p points.

Un système de;? points constituant une courbe géométrique particulière, de la classe /?, donne naissance à des pôles tangentiels, des ordres i, 2,. . ., (/; — 1) et des classes [p — 1), {p — 2),. . ., 2, I d'une droite quelconque du plan.

Tout point du système entre isolément dans le pôle tangentiel d'ordre quelconque de toute droite passant par ce point; il en résulte que le pôle tangentiel d'ordre n d'une droite, passant par un des points donnés» se compose de ce point et d'une courbe compagne de la classe [p — n — i).

Les pôles tangentiels des ordres i et (y? — 1) exigent une étude particulière.