Propriété mécanique

Prenons M pour origine des coordonnées, X pour axe des abscisses, et MV, perpendiculaire à cette droite, pour axe des ordonnées.

Nous représenterons par (^,, j,), {x^, /,)>•••? (^/»> Xp) ^^^ coordonnées des points donnés, par ^ et yj les coordonnées du point C.

En projetant sur MV les points donnés, la droite X et le point C, nous formerons un système de points, le point M et son harmonique relativement à ce système.

Nous aurons donc

^ ji r^ Tp

On a d'ailleurs identiquement

En outre les droites MA,, MA^,. . ., MA^, MX et MC satisfont à la relation

tangXMC "" langXMX"*" tangXMA,"^' ' ""^ langXMA^'

laquelle équivaut à

Les équations (i), (2) et (3) expriment que :

Théorème' LXI. — Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points relatif à une dwite n^est autre que le centre de gravité de ces mêmes points supposés matériels et doués de masses inversement proportionnelles à leurs distances à la droite ( * ).

En supposant que la droite X aille à Tinfini, on arrive à celte conséquence :

Théorème LXII. — Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points relativement à la droite à Vinjini n'est autre que le centre des moyennes distances de ces points.

Un point du plan considéré comme centre des moyennes harmoniques du système donné correspond à chaque élément

d un groupe de ^^- —^ droites.