À CL
Pour obtenir B, prenons la dérivée de (i) par rapport à ce, et nous aurons :
2 X = 2 A X + B (x» + a«) + etc. (2)
Faisons a? = — a dans celte dernière équation, il vient :
Par suite,
^ 1 r dx \ Ç àx , \. Ç xdx
^ "" 2 J (ce + a)« ~ 2^ J ce + a "I" 20 J â?* -}- a* '
ou bien :
y-'-^w+âj-é-a'h^^
\ ^i^(x + ay
Remarque, — Nous n'avons écrit que deux termes du second membre de Téquation (2). La valeur de B n'en sera pas altérée : en effet, comme on peut s'en assurer à l'inspection de (i), tous les termes que nous avons supprimés dans (2) sont nuls pour a; = — a. Or, comme, en prenant la dérivée de (i), on sait que Ton devra y faire ensuite a: = — a, il est évident que l'on peut, en écrivant cette dérivée, se dispenser d'écrire tous les termes qui renfermeront le facteur (x -|- a), puisque ces termes se réduiront à zéro pour a? = — a,
Ç dx Ç X dx
2 2aî + 1 , x+2 , 2 , 2a;+l
= ^ "'"'^"173- + 3(^H^+i) + 3i7d "'"^^ ITT
8 , 2a;+l , xH-2
Si Ton pose
1 A Ma; + N . Pag + Q
on obtient :
en prenant la dérivée, et ayant égard à la remarque du n<> 15, il
vient :
= M Ox; — 1) + (Mx + N) + 2a; (Pa; + Q) (a; - 1) + etc. (2)
L'équation (4) donne, pour ce = 1 , A = - ; et pour
X = i/— 1 , on a :
1 = — M + N l/^ - M i/^ — N , d'où :
Par conséquent, M~ — -, N = — -.
En faisant x = j/— 1 dans (2), on trouve les deux équations suivantes :
par conséquent P=--7, Q=3 — -.
On a alors
1 C ôx 1 r (a; + 1) r/a; 1 r (a; + 1) djc ^"'4Ja; — 1 2J (x«+l)« 4J a?*-|-l
= 7 / hr — 1 -f ...... — 7 arc tg a; —
4 \ i ' 4(x« + l) 4 ^ 4(l+iz;*)
— gM^' +1) ;^arctgac,
ou bien
4« - f x^' — ^x + i Posons :
On en déduit :
a;' — 2;r + 1 = A (a; - 2) (a;« 4- *)* + B ic(x — 2) (x* + 1)«
Comme nous avons une racine triple, nous devons prendre deux dérivées successives, et nous aurons, en appliquant avec précaution la remarque du »• 15 :
3x«-2=A(a;+l)« + 4Aa;(a;-2)(a;«+l) + B(a;-2)(a;«+l)« + Bx(x^ + \y+^Cx(X'-2){x* + \y+ etc.
+ Ma;'(a;-2)+3(iMx+N)a;«(a'— 2)-(-(Mx+N)a;' ^^^^ +2j;*(Pj?-1-Q)(j:— 2) + etc.
6x=4A(ic-2)(à;*+l)+2B(x«+l)«+2C(a;-l)(x«+l)H etc. (3)
Remarquons ici que dans l'équation (2) nous avons écrit des termes renfermant le facteur x, lesquels sont nuls pour x =-0; mais, en prenant la dérivée suivante, ces termes en donnent d'autres qui ne contiennent plus le facteur x : il était donc nécessaire d'écrire ceux que nous avons conservés. D'un autre côté, nous avons des termes en a;*, x^ et en x* ; ces termes s'annulent pour x=0; mais pour x=^{/—\ , ils ne sont pas nuls, puisqu'ils ne renferment pas le facteur a?* + 1. En résumé, les termes que nous ne devions pas écrire dans (2) étaient ceux qui renfermaient à la fois les facteurs x^ et (x* 4~ ^)* Dans (2) il ne faut écrire que les termes ne contenant pas le facteur a; à une puissance quelconque. Gela posé, en faisant a; == 0, nous aurons :
Dans réquation (i) B = — - ;
Dans l'équation (2) — 2 = A — 2B, d'où B = - ;
Dans l'équation (3) = — 8A + 2B — 4G , d'où G « — .
L'équation (i) donne aussi, pour a; = 2 , D = rjr . Enfin, en faisant x = y/— 1 dans (i), on trouve :
La même substitution x = [/ — 1 faite dans (8) nous donne :
Nous aurons donc :
^ ""2Jx»~'"4Ja;« "^ 8 JT'^'IôJx— 2 J (x'+l)»
'+1 d'où :
^ = 4^-^+8 ^^+45^^^-^) 2(c.» + l) ~2""'^'' — ~Ma;*-|-lj — -arclgic; ou bien :
^ ^"^ J a:« — a; — 2 "*J a:» -a; — 2 "*" Ja;«~a; —
= — M a;* — a? — 2 j + - arc tg
Si Ton pose a; — 1 = z, d'où a; = z -[- 1> ^c* — z* -|- 2 z + 2 , il vient :
r(z* + 4 z« + 44- 4 z' 4- 42» + 8 z) cfz 2/ = I -i — ! ■ ■ — - — ■ ■ — , ou bien :
~ x-i (oD—i)* 3(x~i)* {x—iy 5(x— !)»•
Après quelques réductions, on trouve :
— 15 a:* — 30g» — 40 ai* + 20 g — 7
la méthode des racines égales, on a successivement : /(g) = g» + 2g* + 1, f(l) = 4 = A,
r(«) = 12x« + 4, Çi^ = 8 = G,
Il vient alors :
d'où :
comme ci- dessus.
Posons :
X* A , Mx + N , I . = — TT + -i —m > ^^^^ aurons :
a;' = A («* — « 4- l)4-(Ma; -J- N)(a! + 1) ;
d'où :
par conséquent,
On a donc :
1 r «te , 1 f 2a! — 1
ce qui était évident, puisque le numérateur est, au facteur 3 près, la différentielle du dénominateur. On a donc :
On a :
x*4-l (a;*+1)«— 2^« (aî'-fa;v/2+1)(a;*— irv/2+i) * Par conséquent,
Ma? -f N , Pa; + Q
x'+l aj* + icv/2 + l ' «« — x 1/2+1 '
et
1 = (Mic+N)(x«-a;\/2+l) + (Pic+Q)(a;«+a;v/2+l) . (i)
On trouve facilement :
On peut y arriver de la manière suivante :
Faisons d'abord a?* = — 1 dans (i), il viendra :
1 = — (Mx + N) x\/2 + (Paj + Q)a? v/2 ,
ou bien :
1 = — Mx«v/2 -N5CV/2 + Pa;*v/2 + Q^l/2,
et, comme on fait a;* = — 1 , ou bien x — [/— 1 , on a :
1 = M v/2 — N 1/ 2 i/^^ — P V/2 + Q 1/2 [/^^ ; d'où:
Pour a; = , la formule (i) donne :
et pour ce = oo , elle donne, après avoir divisé les deux membres par x* ,
Les équations (s), (3) et (4) nous donnent les valeurs précécédentes de M, N, P et Q. On a ainsi :
do;
Or,
= ^ i (»» + a; i/2 + 1 j + arc tg ^a; 1/2 + l\ ; de môme :
r ^-^^ dx-^f 2^-^1/2 j, 1 r c^^
Ja;* — a:v/2 + l sJic*— rrV/^2 + 1 \/2Jx*-a'V/2+l
= - i [ic* — ic V/2 + l) — arc tg (rr v/2 — l) .
Par conséquent,
~— - / ' '^ ! L arc tff
4v/2 a;*-ccV/2 + 1^2v/2 ^2— 2x*
1 , ic« + Jî 1/2 + 1 , 1 . ic 1/2
- ^li ^.yo . A +5TT^arctg
^ ^ Jic* + ce* — 2 J (a;* - !)(«* + 2) ' En posant :
a;« A , B , Mic + N
(a;«— l)(a;« + 2) x — i ' rr + 1 * ce» + 2 '
on a :
X* = A (a:+l)(rr*+2) + B (a;-l)(a;«+2) + (Mrr+N)(a:«— 1) ; (i)
pour X = 1 , on trouve A = - ,
pour ir = — - 1 , B = -
En remplaçant dans (i) , il vient ;
ëW^^rr^ *'^+N,
OU enfin
Par conséquent ,
d'où:
fx* + 1 ^ 25.2/= -T-r^ ^•
On a : cc^ -f" * •= (^' 4" ^) (^ "~ ^* + 1) î or,
Nous poserons donc :
x'+l ___ Mx + N Pj; + Q Rd; + S
cc'^+l "" i;* + 1 "*" X* + oî v/3 + 1 "*" .x« — a; 1/3 4- î '
on tire de là :
En faisant x = yZ—i , d'où a?* = — - 1 , aj* = 1 , on a :
2 = 3 (M 1/ —1 + N) ; par conséquent , M = , N = - .
Pour trouver P et Q , nous remplacerons x par l'une des racines de l'équation x^ -\- x [/3 -|- 1 = , par exemple nous
ferons x = î— I — *^ . De cette même équation , on déduit
X* + 1 — — rr j/3 , et ic* -}- 1 == ce* ; ces valeurs substituées dans (i) donnent d*abord :
X* = (Px + Q) ( 2 a? v/3) (- 00 i/3) , ou bien :
a;«=(Paî + Q)6a;», c'est-à-dire
en faisant maintenant x = — — ^— , il vient :
Q + P [^ ^ ) == gi par conséquent , P = 0, Q = - .
Enfin , pour obtenir R et S, nous remplacerons x par Tune des racines de l'équation x^ — x \/3 -{-1=0, par exemple ,
nous ferons x =■ ^ ; nous aurons aussi :
a?* -|- 1 = a; 1/3 , a;* + 1 = a;* , ce qui nous donne :
x« = (R a; + S) (2 x v/3) (xv/3) = 6:i;« (R j; + S) , ou bien :
En remplaçant x par sa valeur, x =^- ^r , il vient :
S + R[- — ^ j = - , par conséquent R = , S = -.
On a alors :
'-' ~ 3 J i*+l 6 J X» 4- x 1/3 + 1 "^ êj «* — a; 1/3 4- 1 '
ou bien :
y = ^arctga; + garctg/2a; + v/3J-|--arctg[2«— v/3j
= 3arctga; + 3arctg ^^^^,3^
2 , ,4 , X = 3 arc tg X + g arc tg ;j-— ^ .
Or,
2 arc tg j; = arc tg
par suite,
1 , 2« , 1 ^ a; 1 , 1— a;* "*" 4— x* y = -3arctg^-^+3arctg^--^=^arctg ^li"
