a;(l — a;») = - arc

Nous poserons :

a;(2ag^~g; + S) Ma? + N Pg;+Q ,

d'où:

a; (2 a;* — a: + S) = M ic + N + (P X 4- Q) (a;* -f 1) .

Pour X = 1,/— 1 , on a :

|/^ (3 - i/^) = M i/Hî-f-N = 3 |/^+ i ; donc,

En Remplaçant M et N par ces valeurs, et divisant par (ic* -f- 1)* , on a :

^x^ — x^+bx — SX'—i P X +Q par conséquent,

*^ * + ^ ^M=l ÏM^l '

on a donc :

p = 2, Q= — 1, et il vient :

3j*2a!;(ir ^ Ç dx Ç2x dx Ç dx

~ âJ (x* + 1)* "^ J (ai* + l)* "''J a;* + 1 ~J x* + 4

TT — r arc tg X 4- « (a;* 4- l) .

/x' dx Ç X* dx

On posera donc :

Px + Q , P'x+Q'

(x* — X v/2 + 1)* .x2 — X 1/2 + 1 * On en tire :

Comme nous avons des racines doubles, nous prendrons la dérivée première de (i) , en ayant égard à la remarque du n" 15, et nous aurons :

+ (P'ic f-Q')(x*+a:i/2 4 l)*(25c- 1/2)4- etc.

En substituant dans (i) Tune des racines de l'équation

X* 4~ X ^/2 -j- 1 = , par exemple x = -^—^ , il ne

restera que :

a;«= (Mj: + N)(aî« — xv/2 4- 1)*, et comme a:* 4- 1 = — ^ l/*-2 , nous aurons :

a;« = 8a;«(Ma:4-N),

ou bien : M ac 4- N = - , et en remplaçant x par sa valeur :

m(— ^1 ) + N = -g; d'oùM = 0, N = ^.

De même, en remplaçant x par Tune des racines de l'équation

1 4- 1/— -~î X* — a* 1/2 4-1 = 0, par exemple en faisant x = y^ ,

et observant qu'alors x^ -^ i = x 1/2 , on a :

x^ = 8x*[px -y q) , ou bien P a; 4- Q = ^ ;

d'où: P( ^^^ ' ]4-Q=3;parsuite,P = 0, Q = -.

L'équation (2) donnera M' , N' , F et Q' .

Pour avoir M' et N' , nous ferons x = ^^f-^ , et, par

-i+jZ-i

1/2 conséquent , a;* -f 1 = — x V/2 , ce qui nous donne d'abord :

2x = 2(Ma;4-N)(— 2a:v/2)(2x - \/2) 4- M (8 a;') 4- (M' X 4- N') (8 x«) (2 X 4- \/2).

Or, M = 0, N =5 , et par conséquent :

2 a; = — « (as V/2 — I) + (M' a; + N') S 05» (« \/2 4- 1) 1/2 , ou bien , en divisant par x, et réduisant :

1 + a; 1/2 = 8 a; v/2 (x \/2 4 i) (M' « + N') , ou bien :

Remplaçant enfin x par sa valeur, on a :

On tire de là :