î/ = -5 -, da; = a — b
^ ( àx
a* — ic^ a -{- X * a — x*
. En faisant a; = a , on a B = r— ; et, pour x^ -^ a ,
il vient : A = ;r- .
^ 2a[Ja-fic"^Ja — rcj^^â ^a — a;*
g r (x* + g; — 1) da? ^
J x' — jj* — a; + 1 *
A cause de a;' — a;* — a? + 1 «= (^"~0 (^+0» ^^^ P^se :
^ i 1 = f Inî h J H n • ®^ ^^ vient :
a:' + X - 1 = A (a:+l)+ B(aî— l)(a;+l)+ c(a;-l)\ (i)
Gomme le dénominateur a une racine double, nous devons prendre la dérivée première de l'équation précédente, et nous aurons :
En faisant a; =» 1 dans l'équation (4), on trouve :
pour a; = — 1 , cette même équation (i) donne : C = — -r ;
et, en faisant x = 1 dans (2), il vient : B = - .
\ ( dx 1 r dx jh Ç dx
^~'^){x—\y ""iJaJ + l "^4Jj^=T'
ai —
Cx*dx C(x* -{- \ — i) dx I* f do;
= a; — arctga;.
^ ^ ■" J (1 +xy ""J (Ha;*)» ^J (1 + a;») J (l+a;*)
Or,
r x* daj Çx 2xdx x 1 Ç dx
J (!+»*)» ~J 2' (l+a;«)* ~ 2(l+a5*) "*" 2 Jl+x* '
car,
par conséquent,
r X* dx ^ J- ^ t
J (1 + a?*)* "" 27nF^) 2^^^^^' et
^H(ïT^«="'"^*«*+2TrT^)-2"'''*«^
= ^arctga; + 2(^^^.) - «= - M »* + 1 ) + arc tg a; .
on a :
a; + l = A + B(a! - i) ; d'où
A — B = l, B = l; donc, A = 2, B = l;
"■^ = /?xi
do;
On pose ^ 1 A ^ r ^g__L ^
l=A(a;+l) +B (a;-l)(a4-l)*4 G (oî-l) +D (^+l)(rr-^l)*
En faisant a; = 1 , on obtient A = - ; pour ^ = i ^
il vient C ^ -, .
La dérivée première est 0=2A (x+l) +B (a?+l)'+2B (ic-l) (a;+l) +2G (a^-l)
En faisant a; = l, ona4A + 4B = 0; donc B = — A ,
d'où B = — : de même, x = — i nous donne D = - .
-|[-îè-,-'(-i)-,-^+'(-+i)]
4 a; — 1 2 (x* — 1) • f (x* + i)dx
A cause de la relation «' — 3»* + 4a; — 2 = (x — 1 Vas* — 2a!+2|, on pose :
■T* + i A Ba; + G ... .
On a donc :
d'où
— x)dx
g f rfX C (3 -
^ jx — l'^Ja;» — 2a; + 2
dx
2x + 2 == 2 W^ — l| - 1 i [^» - 2a; + 2J + 2 arc tg (x — 1'
l/x^ -- 2a; + 2 a;cîj;
--f 2arctg 05 — ij .
X dx
+ x + iY
[hMJ-
En posant x + - = — ^ — , on obtient :
(z v/3 1\ dzv/3
■~2~ 4 /-(z v/3 — 1) dz
4 r z dz 4 Ç dz
Ij{\ + z«)« *" 5173 J (1 + z«)«
arc tg z —
6(1 +z«) 6v/3 ^ 6j/3(l + z*)* 2 2 z 2 arc tg z
2x4-1 Or, z = — -;^ — , et, en remplaçant, il vient, après
quelques réductions :
^■^ 2(iC*+x+l) ê^^+i+î) 3i/3^^^^ v/3
a; 4- 2 2 2ar4-l
— rrrTS arc tg
3(ic« + aî + l) 3v/3 ® V/3 '
r da; Ç dx
• ^ ^ Ja:* — 7x«-t-12 "°J (a;* — 4) (a;* — 3) '
On posera donc :
aî^ — 7a;« + 12 ar + 2 oî — 2 ' x-\-\/2 x-^y/S'
d'où
1 «A(aî-2)(a;« - 3)+B(a;+2)(a;*-3)+ G(a:« - 4)(a;-. v/3)
+ D(a;« — 4)(aî+v/3).
Pour ar — 2, on a B = -i ,
pour x = — 2, A = — 2>
pour X = v/3> D = —
pour X = — 1/3, C = —
2\/3' d'où:
1 Ç dx i C dx . 1 Ç dx \ Ç dx
^ 4 J x+2"'"4 J œ— 2 ' 2v/3 j z+\/,?i~^/3 Jx-\/'à
dx
(a? + a)« (ce* + «*) * Posons :
B Ma; + N ^
(o; + a)* (x* + a«) (x + a)« ' ac + a ' »« + a^ d'où:
x^=h (aî*+a«) + B (x+a) (x*+a«) + (Mx+N) (x+a)« . (i)
Pour a; = — a, on a A = -;
pour x = a j/— 1 , il vient :
d'où l'on tire :
2 Ma = 1 , N = ; ou bien M = ~- , N = .
