I — - . Posons |/1 — a? — a;* = a
nous aurons :
d'où -- ç/a; (l -}- ^«) = 2 (a; ^ + 1) d^ ,
ou bien :
dx ^dz
xz-^\ 1 -f ^* '
or,
Par conséquent :
dz
Mz^i)dz C lzdz Ç
" J (1 +«•«)* J{i-{-z*)*^ Jn + zY
x*4- )|/1 ^ x^x^ — il^
H 1 , r + arc tg .
x^ + i|/l x- j;«-lj« «^
Les deux premiers termes nous donnent :
X \i/\ — a; — a:« — (2 a: + 4)t b j/l — ic — x« — (a: — 2)j [2 |/l — ce — ce* + (a?— 2)i |2 y/\ -x-cc» — (o: — 2)t
— o ic — 5 a: |/l — x — x* — 5ic«
Donc,
2/ « — p/1 — X — a;* -|- arc tg '-^ 1- G .
Remarque. — La valeur complète de y serait, d'après ce qui précède :
2/ == — 1 — 1/1 — a? — aî* + arc tg h C;
mais nous faisons entrer — 1 dans la constante C .
/dx „ . En posant a? = tg cp , (1 — a;*) i/l + x^
d'où da; = — r- > nous aurons :
cos* <j)
Jd <p Ç cos <p d ^
cos* 9 1 — tg* 9 1
^ \ ^ I cos <j)
2 sin* y
Posant ensuite i/2 sin tp = ^ , il vient :
„ = L f— ^ ^ —i 7 i+jg. ^* , ^ + l/g si" y
V/S^l-a'* 2^/2 1-2- 2v/2 1-1/2 sinç
(1 — X*) y/i + x* | r x^da; ^ 1 j |/t + a:* 4- X t/2
.2 0/1 + a;* + x) (yVTH? — X v/2)
aji. 2/ = I— . Gomme la quantité sous le
radical est 1 — x* , nous poserons x = sin <}> , ce qui nous débarrasse de ce radical. On a alors :
J (1 -f sin* y) cos çp Jl+sin*^ Jcos*(p-f 2sin»(î) d cp
/cos* 9 1 / \
rpii^ = i72 *'••' 'n*^^ *« ^)
= 4- arc tg (-^i^' 1/2 VlZT^,
— - — - — . En posant x = sin œ , il vient :
* = ? - r72 ^•■« tg (l/2 tg çp)
sin*<p
= arc sm a; — arc tg | — \
Remarque, — On aurait pu écrire immédiatement : Ç (1+a;^ ~ \)dx ^ f dx f dx
etc.
C[/\ — a;* C dx
— = V/2 arctg — z:^z=:
•^ (1 -f ««) i/i — X* Vi — ^-
— arc sin x .
25. On peut aussi intégrer cette expression en posant : a; == sin <p , ce qui donne :
' ,=.2f-^4.ï==l.^2arctg(-^^
— arc sin a? .
/dx „ ■ . En posant a? == sin <p , il vient :
/cos 9 d «p C d (p ^ \/\ — x^ * — - — = I — *- = — cotg cp == — sin' y cos (f J sin' y ^ , x
' (1 — cc«) i/i - x* -^ (1 - a;') ^/l —a;'
En posant a; = sin (p , on a :
Ç d(f Ç(\ + sin' f) cos (f d<f J cos' (f J cos y
= tg(p — I 1 -j- sin' yjdyastgy — y — I sin* y d y
sin f cos f ,f 1 ^2
3 arc sin X j^x \/\ — «*
' — - arc sin x .
/^ X dx
l/2 /c ii;2 — (c« + |J^') a;* — |JL
. . En posant x* a= jt ,
il vient :
— éiaf
t/— . |x + 2 fr ^r — <c' -}- fx') a:'
^/c« ■}- jx' de
\/— > (c« 4- fx') + 2 & (c» + fx') ^ — (c* + |x')* i
\ r — t/c* + tx'dg .
2 •' Vif ,ji (c» + ^•) [(c* + (xV - fc]*
-îf
— l/c* + (x' rf^f
2 l/c« + fx'
P' là ^*
i* (c* + K) y /^ i(c« + {X') g - fcl •V ' " "fc* |ji (c« -|- (x')
(c* 4- ix') if — & arc cos — ^=zz===^ ^/,. p (c« -f ^')
dar
arc cos -^=i====::;z=.
/'dar — '■ — . Posons 35 + i = (x — i) tg* » , (a;* - 1) i/o;* - i
d'où:
tg' y + 1 .
■~tg»(p-l' •
cos* (p(tg* y — 1)*
8tg»<p
r 4tgyd9(tg«9 -1)» ^ 1 /• (tg* y — 1) d <p J cos» (p (tg* (p — i)* 8 tg» (p îJ sin'ç
1 f dœ , 1 f dç 1 1
^±1+1 l tg*(p+l l a;— 1 ^ * aj
„ farc tg X rfaj „
