y = 1 . Posons arc tg a? = « , d'où

dx

df , X <= ^; » ; on aura :

y = I - =« I * cos * d»

l/4 + tg»£r = ^ sin z — I sin ^r d^ ^ £r sin « -(- ces ^

o^arctga; , 4

•^ \a — bxj J a* — 6* ic*

Pour trouver l'intégrale

A = }!- — — — ^ posons X = sin cp , et nous aurons : J a* — b^ x^

( cos* <fd(f __ 1 fb* (1 — sin* f) d<f

J a* — b^ sin* <p ~ 6 V a* — 6* sin* y

/5« — b» sin* ? + «' — «*, a* — 6* sin* <p ^

— j. g^— b^ Ç dj

"" F* ^ 6« J a* cos« <p + (a« — 6*) sin* <p

d (f 1 a* — b* r cos* cp

ti = — i/l — a;* M — i—— + — - arc sin a?

r , , ,., , . — arc tg ^ .

^ C Ix dx

En posant 6a;« = atg«y, d'oùx = ^^

dx =\ / - — f- , on a ; V & cos* <f

1 p(\/^tgy)dy

COS <p

= 7^bS''^'f'^'f'{\/hf)

sin <p l

sin

cos

tg?

i V xy/b

"■ \/^ Ly/a -t- 6 a; 1/6

r«x + Mgg-arctga:y/^)J

-^tm^-"«(i+-'-\/.-)]

l/a -{-bx*

dx

[/\ -\- x^ — y/i — X* Posons 1 -}- a' = (1 — a;*) ;S^' ; nous aurons -.

dx =

'iz dz

g de

(z* + 1) y/z* — i(z — i) En posant -\- i = (;8^ — 1) tg* (p , on a : ^ == ^^ * '

tg« <p

4tg ^

cos« <p (tg* (p — 1)* ' " ' *, (tg« (p — l)î

d'où :

tg* <p + 1\ 4 tg cp d(p

■ /tg* y + 1 \ ha* 9 — i'

„ . ^ o ^tg' ^ — i' cos« y (tg« y - 1)»

^ ^ J 2(tg«cp + l) 4

•' (tg'œ- l)Mg«(ï)-l *^^

J [ • (tg*y -l)d(p 1/2 J (tg* y + 4) cos* <j)

= J-fAt- 4.1/2 r£2!!l

En posant tg (p==: «.,. il vient :

r d cp Ç d

. J cos« y (tg» y 4- 1) °"J r+v*

1 1)* + .; t/2 + 1 , 1 arc tcf " ^^^ ^ 4 v/2 t)* - V \/2 -{- 1 ^ 2 v/2 ^\1 — t)V

__! tg' cp + tg y v/2 + i ■ i „,.t-f ^gy^^ l 4 1/2 tg»y-tgy\/2 + l "* 2 v/2 ^Ij-tgV

Par suite,

V/2 »'*'^4 tg»ç-tg<pi/2 + l

1/2 V z — i^V TITa /r-r-i

V ir — 1

~\/2V^-l-^4 2^-v/2K^F=rï

Mais, on trouve facilement que :

2iK

V 1 - a>« yT^T^*

^^^^8 —T7^ — = arc tg = arc sin x .

On a donc :

= arc sin a; .

Applications.

= I i^-x» - 3 i^x +3 i (t^-x + l) + x - I xi>'x .