L'hyperbole rapportée à ses axes a pour équation

- fr2 -

On aura :

I y dx = - I \/x* — a* dx .

Or,

\[/x* — a^ dx = j l/l — a* xr^- xdx==j p/l— a*ar- 1 r j a* ar-^ x [/x^ — a* a^ Ç dx

On a donc pour l'aire comprise entre deux ordonnées quelconques :

A = - J l/oj* — a* dx '

Xq

= ^ \x[/x* a« — aM (a; + ]/x* — a«l . Si Taire commence au sommet, on fera oJo = fl , et l'on aura :

aj ^ 2 a 2 \ a I

3. L'équation diflférentielle de la cycloïde rapportée à son origine étant :

on a :

j y dx = I — . On intègre cette expression

en posant t/ — a = a 2^ , ce qui nous donnera facilement : jt/dj:=a« -arc sin^^ — -i/2a t/ — 2/*—^^ ^^2a2/— y« U-G.

On obtiendra Taire comprise entre l'origine de la cou son sommet, en intégrant entre les limites y = et t/ = ce qui nous donne :

A = J t/ di» = a« -

3Tca«

arc sin (1) — - arc sin ( — 1

et

Remarque. — On peut encore intégrer Texpression : C y^dy C y^ dy

J\/2ay^y^ •' j/a» - (t/ — a)« '

en posant î/ — a «= a sin ^ , ce qui nous donne :

a* I 1 + 2 sin z -j- sin* ^\ dz

smz cos z , g 2cos^ ^-

Pour trouver les limites Aez^ faisons t/ = , et y =^2 a dans l'équation y — a = a sin <^ , et nous aurons :

TC

pour t/ = , sin ^ = — 1 , ou bien z = — -,

pour t/ = 2 a , sin ^ = 1 , ou bien z=^ - .

là

Par conséquent :

2 , » 3 TT a'

A = a* l 1 1 -f 2 sin <8r -f sin* z\ dz = — - — .